各类曲线的参数方程

都说数学中的圆锥曲线高考难题排名第二名，大部分同学抱怨无从下手，计算能力跟不上，算错一次没有勇气从头再来，今天橙子老师教大家如何学好！

1、牢记核心知识点

核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。

2、计算能力与速度

计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。

当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。

3、思维套路

拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。

一设：设直线与圆锥曲线 的两个交点，坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线方程为y=kx+b。

二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。

三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。

走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的 斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。

4、题型总结

 圆锥曲线中常见题型总结

1、直线与圆锥曲线位置关系

这类问题主要采用分析判别式，有

△＞0，直线与圆锥曲线相交；

△=0，直线与圆锥曲线相切；

△＜0，直线与圆锥曲线相离．

若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．

注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。

2、圆锥曲线与向量结合问题

这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。

3、圆锥曲线弦长问题

弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则：

4、定点、定值问题

(1)定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

5、最值、参数范围问题

这类常见的解法有两种：几何法和代数法．

(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；

(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．

在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；

(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；

(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

6、轨迹问题

轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。

定义法：

(1)判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；

(2)设标准方程，求方程中的基本量

(3)求轨迹方程

相关点法：

(1)分析题目：与动点M(x，y)相关的点P(x0，y0)在已知曲线上；

(2)寻求关系式，x0=f(x，y)，y0=g(x，y)；

(3)将x0，y0代入已知曲线方程；

(4)整理关于x，y的关系式得到M的轨迹方程。

参数法求轨迹的一般步骤：

(1)选取参数k，用k表示动点M的坐标；

(2)得动点M的轨迹的参数方程 

(3)消去参数k得的M轨迹方程；

(4)由k的范围确定x，y的范围，确保答案的准确性和完备性。

7、探索型，存在性问题

这类问题通常先假设存在，然后进行计算，最后再证明结果满足条件得到结论。对于较难的题目，可从特殊情况入手，找到特殊点进行分析验算，然后再得到一般性结论。

1、

给定一个椭圆和一条直线：

椭圆方程：

直线方程：y=kx+b

一般做法：

上面的运算数不是有点复杂呢，那接着往下看看关旭老师提供的计算技巧吧：

巧运算：

2、

此外，常用的两个结论还有：

1、直线交椭圆的弦长：

(因为只要联立了方程组，就一定要求判别式，将判别式代入这个式子求弦长会比一般做法简单很多)

2、

y1+y2=k(x1+x2)+2m

y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

用此方法可大幅节省运算时间，圆锥曲线是不是简单了不少呢？

例子

这里给出了两道非常简单的例题，快用简洁的方法算一算吧。

1、若椭圆与直线y=2x+5相切，求椭圆方程。

2、若直线y=kx+与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，且•>2，求k的取值范围？

答案:1.a=9

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