推导圆锥体积公式的多种方法

2024-05-10 00:18| 来源: 网络整理| 查看: 265

从小到大，见过很多书都说圆锥的体积等于同底等高的圆柱的体积的三分之一不能用初等方法证明，其实这种说法是错误的，本人曾经悟出这个结论的初等证明方法，这种方法是在小学毕业未进入初中时自悟出的，因此这种方法中学生一定可以看得懂，甚至聪明的小学生也一定能看得懂。

下面我们就采用这种简单方法证明这个结论，并且在第二第三部分用极限与微积分的方法进行证明，其实后两者没有本质的区别。

用初等方法进行证明用极限方法进行证明用积分方法进行证明1. 用初等方法进行证明

如图所示，设圆柱（锥）的底面半径为 , 高为 , 用 $\pi$ 表示圆周率，很自然，圆柱的体积为 $\pi r^2h$ .

首先，圆锥的体积必然和底面积成正比。这是因为底面积扩大倍时，根据相似原理，与底面平行的任意一个截面的面积均扩大倍，而体积正是由与底面平行的所有截面在高的方向上累积而成，因此圆锥的体积与底面积成正比。

最后，圆锥的体积也与高也成正比。这是因为在高扩大倍之时，根据相似原理，相应的每一根竖线的高度也都扩大倍，而体积正是由这些线段在截面的方向上累积而成，因此圆锥的体积也与高成正比。

既然如此，我们可以设圆锥的体积公式为

$V_{1}=k\pi r^2h$ ,

其中是待定系数。

如图，从圆柱之中挖出一个同底等高的圆锥，剩余部分可以看作是以圆柱的侧面积为底，以底面半径为高的锥体，下面简称其为“剩余体”。

剩余体本质上也是锥体。这是因为每个以大圆柱轴心为轴心的小圆柱侧面在该剩余体上截得的柱面的面积均与小圆柱的半径的平方成正比。这与圆锥体的规律是一致的，圆锥体的每个截面的面积正是与它到顶点的距离的平方成正比。而剩余体的体积是由这些被截得的柱面在圆柱底面半径的方向上累积而成，与此对应，圆锥体的体积也正是由与底面平行的截面面积在高的方向上累积而成，因此该剩余体可以看作以圆柱侧面为底，以圆柱底面半径为高的锥体，体积公式也自然与圆锥体一致。

所以该剩余体的底面积即为圆柱的侧面积 $2\pi rh$ , 高为半径 , 因此该剩余体体积可以写成

$V_{2}=k\times2\pi r h\times r=2k\pi r^2h.$

由于圆锥的体积与剩余体的体积之和要等于圆柱的体积，因此有

$V_{1}+V_{2}=3k\pi r^{2}h=\pi r^{2}h\Rightarrow k=\frac{1}{3}$ .

2. 用极限方法进行证明

如图所示，设圆柱（锥）的底面半径为 , 高为 , 用 $\pi$ 表示圆周率。

用极限思想，可以将圆锥切分为个圆台，而当圆台的高度极其微小时，体积就是底面积乘以高，因为当高很微小时，上底的面积与下底的面积之差可以忽略不计。则

$V=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}\pi(\frac{ir}{n})^{2}\frac{h}{n}=\pi r^{2}h\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{3}}\sum\limits_{i=1}^{n}i^{2}$