专题 直线系方程与圆系方程

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选择性必修第一册同步提高，难度3颗星！

\((1)\)过点\((x_0 ,y_0)\)的直线系方程为\(A(x-x_0 )+B(y-y_0 )=0\)(其中\(A\),\(B\)不全为零) \((2)\)平行于直线\(Ax+By+C=0\)的直线系方程\(Ax+By+C_0=0(C≠C_0)\)； \((3)\)垂直于直线\(Ax+By+C=0\)的直线系方程\(Bx-Ay+C_0=0\)； \((4)\)过两条已知直线\(l_1:A_1 x+B_1 y+C_1=0\)和\(l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0\)交点的直线系方程\(A_1 x+B_1 y+C_1+λ(A_2 x+B_2 y+C_2 )=0\) (\(λ∈R\), 这个直线系下不包括直线\(l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0\)，解题时注意检验\(l_2\)是否满足题意)  

\((1)\)以\((a ,b)\)为圆心的同心圆圆系方程：\((x-a)^2+(y-b)^2=λ(λ>0)\)； \((2)\)与圆\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)同心圆的圆系方程为\(x^2+y^2+Dx+Ey+λ=0\)； \((3)\)过直线\(Ax+By+C=0\)与圆\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)交点的圆系方程为\(x^2+y^2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)\)； \((4)\)过两圆\(C_1：x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1=0\)，\(C_2：x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2=0\)交点的圆系方程为\(x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1+λ(x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2 )=0\) (\(λ≠-1\), 此圆系不含\(C_2：x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2=0\)) 特别地，当\(λ=-1\)时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.  

过圆上一点\(P(x_0 ,y_0)\)作圆\(\odot M:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)的切线\(l\)方程为 \((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\\\) \({\color{Red}{证明 \quad 向量法 }}\) 向量\(\overrightarrow{P M}=\left(a-x_{0}, b-y_{0}\right)\)，设切线上任意一点\(B(x ,y)\)， \(∵l⊥PM\)，\(\therefore \overrightarrow{P M} \perp \overrightarrow{P B}\)，即\(\overrightarrow{P M} \cdot \overrightarrow{P B}=0 \text {, }\)， \(∴(a-x_0 ,b-y_0 )(x-x_0 ,y-y_0 )=0\) \(⇒(a-x_0)(x-x_0)+(b-y_0)(y-y_0)=0\) 即切线\(l\)方程为\((a-x_0)(x-x_0)+(b-y_0)(y-y_0)=0\). \(∵(a-x_0 )(x-x_0 )+(b-y_0 )(y-y_0 )=0\) \(⇒(a-x_0 )(x-a+a-x_0 )+(b-y_0 )(y-b+b-y_0 )=0\) \(⇒(a-x_0 )(x-a)+(a-x_0 )^2+(b-y_0 )(y-y_0 )+(b-y_0 )^2=0\) \(⇒(a-x_0 )(x-a)+(b-y_0 )(y-y_0 )+r^2=0\) \(⇒(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\) \(∴\)切线\(l\)方程也可以写成\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\).  

过圆\(\odot M:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)外一点\(P(x_0 ,y_0)\)引圆的两条切线，切点分别是\(A\)、\(B\)，则直线\(AB\)的方程为\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\). \({\color{Red}{ 证明}}\) \({\color{Red}{ 方法1}}\) 设切点\(A(x_1,y_1 )\)， 则过点\(A\)的切线方程为\((x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2\)， 由于点\(P(x_0 ,y_0)\)在切线\(PA\)上，所以有\((x_0-a)(x_1-a)+(y_0-b)(y_1-b)=r^2\)①， 设切点\(B(x_2,y_2 )\)，同理得\((x_0-a)(x_2-a)+(y_0-b)(y_2-b)=r^2\)②， 由①②得点\(A\)与点\(B\)在直线\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)上， 则直线\(AB\)的方程为\((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\). \({\color{Red}{ 方法2}}\) 以\(MP\)为直径的圆方程为\((x-a)(x-x_0 )+(y-b)(y-y_0 )=0\)，记为圆\(C\)， 因为\(\angle P A M=\angle P B M=\dfrac{\pi}{2}\)，所以点\(A\)、\(B\)在圆\(C\)上， 则\(A\)、\(B\)是圆\(C\)与圆\(M\)的两个交点， 由圆系方程可知，两圆方程相减即得直线\(AB\)方程 \((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\) \({\color{Red}{ (这跟圆上点的切线方程形式一致)}}\)  

【典题1】求过两直线\(x-2y+4=0\)和\(x+y-2=0\)的交点\(P\)，且分别满足下列条件的直线\(l\)的方程． (1)过点\((2 ,1)\)； (2)和直线\(3x-4y+5=0\)垂直． 【解析】由\(\left\{\begin{array}{l} x-2 y+4=0 \\ x+y-2=0 \end{array}\right.\)解得\(\left\{\begin{array}{l} x=0 \\ y=2 \end{array}\right.\)，\(∴P(0 ,2)\)． (1) \({\color{Red}{ 方法一}}\) 由两点的坐标求得斜率为\(k_{l}=\dfrac{2-1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}\)， 由点斜式求得直线方程为\(y-2=-\dfrac{1}{2}(x-0)\)， 化简得\(x+2y－4=0\)． \({\color{Red}{方法二 }}\) 设过点\(P\)的直线方程为\(x-2y+4+λ(x+y-2)=0\)， \(∵\)过点\((2 ,1)\)，\(∴2-2+4+λ=0⇒λ=-4\)， 故所求直线方程为\(x-2y+4-4(x+y-2)=0⇒x+2y-4=0\). (2) \({\color{Red}{方法一 }}\) 依题意得所求直线的斜率为\(k_{2}=-\dfrac{4}{3}\)， 由点斜式求得直线方程为\(y-2=-\dfrac{4}{3}(x-0)\)，即\(4x+3y-6=0\)． \({\color{Red}{ 方法二}}\) 设所求直线为\(4x+3y+λ=0\) \(∵\)过点\(P(0 ,2)\)，\(∴0+6+λ=0⇒λ=-6\)， 故所求直线方程为\(4x+3y-6=0\). 【点拨】此题是直线系问题.从本题来看，用直线系方程的方法求解对于一般的解法也没有优势，这里只是拓展大家的思路.  

【典题2】求过点\(P(-1 ,4)\)，圆\((x-2)^2+(y-3)^2=1\)的切线\(l\)的方程． 【解析】\({\color{Red}{方法一 }}\) 当直线\(l\)斜率不存在时，方程为\(x=-1\)，显然不是切线， 故可设切线方程为\(y=k(x+1)+4\)， \(∵\)直线\(l\)与圆相切，\(∴\)圆心\((2 ,3)\)到直线\(l\)的距离等于半径\(1\)， 故\(\dfrac{|3 k+1|}{\sqrt{1+k^{2}}}=1\)，解得\(k=0\)或\(-\dfrac{3}{4}\)， 故所求直线\(l\)的方程为\(y=4\)或\(3x+4y-13=0\)． \({\color{Red}{方法二 }}\) 如方法二，设切线方程为\(y=k(x+1)+4\)， 由\(\left\{\begin{array}{c} y=k(x+1)+4 \\ (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1 \end{array}\right.\)得\((1+k^2 ) x^2+(2k^2+2k-4)x+k^2+2k-4=0\) 其判别式\(∆=(2k^2+2k-4)^2-4(1+k^2 )(k^2+2k-4)=0\), 解得\(k=0\)或\(-\dfrac{3}{4}\)， 故所求直线\(l\)的方程为\(y=4\)或\(3x+4y-13=0\)． \({\color{Red}{方法三 }}\) 设所求直线的方程为\(A(x+1)+B(y-4)=0\)(其中\(A\)\(,B\)不全为零)， \(∵\)直线\(l\)与圆相切，\(∴\)圆心\((2 ,3)\)到直线\(l\)的距离等于半径\(1\)，故\(\dfrac{|3 A-B|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=1\) 整理，得\(A(4A-3B)=0\)，即\(A=0\)(这时\(B≠0\))或\(A=\dfrac{3}{4}\)，\(B≠0\)． 故所求直线\(l\)的方程为\(y=4\)或\(3x+4y-13=0\)． 【点拨】本题的方法很多，这里利用了直线系方程，过点\((x_0 ,y_0)\)的直线系方程为\(A(x-x_0 )+B(y-y_0 )=0\)(其中\(A\),\(B\)不全为零) , 它比起斜截式\(y=kx+b\)的设法好在不用对\(k\)的存在进行讨论.  

【典题1】经过直线\(2x-y+3=0\)与圆\(x^2+y^2+2x-4y+1=0\)的两个交点，且面积最小的圆的方程是\(\underline{\quad \quad}\)． 【解析】\({\color{Red}{方法一 }}\) \({\color{Red}{ (面积最小的圆是以两个交点为直径的圆) }}\) \(∵\)圆\(x^2+y^2+2x-4y+1=0\)的方程可化为\((x+1)^{2}+(y-2)^{2}=4\)． \(∴\)圆心坐标为\((-1 ,2)\)，半径为\(r=2\)； \(∴\)圆心到直线\(2x-y+3=0\)的距离为\(d=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)． 设直线\(2x-y+3=0\)和圆\(x^2+y^2+2x-4y+1=0\)的交点为\(A\),\(B\)． 则\(|A B|=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{4-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{2 \sqrt{19}}{\sqrt{5}}\)． \(∴\)过点\(A\),\(B\)的最小圆半径为\(\dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{5}}\)． 联立\(\left\{\begin{array}{l} 2 x-y+3=0 \\ x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+1=0 \end{array}\right.\)得\(5x^2+6x-2=0\)， 故\(x_{1}+x_{2}=-\dfrac{6}{5}\)， 则圆心的横坐标为\(\dfrac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)=-\dfrac{3}{5}\)，纵坐标为\(2 \times\left(-\dfrac{3}{5}\right)+3=\dfrac{9}{5}\)， \(∴\)最小圆的圆心为\(\left(-\dfrac{3}{5}, \dfrac{9}{5}\right)\)， \(∴\)最小圆的方程为\(\left(x+\dfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{9}{5}\right)^{2}=\dfrac{19}{5}\)． \({\color{Red}{ 方法二}}\) 依题意， 可设过点\(A\)、\(B\)两点圆的方程为\(x^2+y^2+2x－4y+1+λ(2x-y+3)=0\)， \({\color{Red}{(利用圆系方程把满足题意的所有圆表示出来，再用代数的方法求面积最小的圆) }}\) 整理得\((x+\lambda+1)^{2}+\left(y-\dfrac{4+\lambda}{2}\right)^{2}=\dfrac{5}{4} \lambda^{2}+\lambda+4\) 若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即\(\dfrac{5}{4} \lambda^{2}+\lambda+4\)取到最小值， 而\(\dfrac{5}{4} \lambda^{2}+\lambda+4=\dfrac{5}{4}\left(\lambda+\dfrac{2}{5}\right)^{2}+\dfrac{19}{5} \geq \dfrac{19}{5}\)，当\(\lambda=-\dfrac{2}{5}\)时取到最小值， 此时圆的方程为\(\left(x+\dfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{9}{5}\right)^{2}=\dfrac{19}{5}\). 【点拨】本题是过直线与圆交点的圆系问题.方法一可以说是从几何的角度得出思路求解，而方法二算是“代数法”，略显简洁些.  

【典题2】已知圆\(C_1：x^2+y^2=10\)与圆\(C_2：x^2+y^2+2x+2y-14=0\)． (1)求证：圆\(C_1\)与圆\(C_2\)相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过两圆交点，且圆心在直线\(x+y-6=0\)上的圆的方程． 【解析】(1)证明： \({\color{Red}{(圆心距C_1 C_2∈(R-r ,R+r)⇔ 两圆相交) }}\) 圆\(C_2：x^2+y^2+2x+2y-14=0\)化为标准方程为\((x+1)^{2}+(y+1)^{2}=16\) \(∴C_2 (-1 ,-1)\)，\(r=4\) \(∵\)圆\(C_1：x^2+y^2=10\)的圆心坐标为\((0 ,0)\)，半径为\(R=\sqrt{10}\) \(\therefore\left|C_{1} C_{2}\right|=\sqrt{2}\), \(\because 4-\sqrt{10}