不同端部形状的细长圆柱体的附加质量研究

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不同端部形状的细长圆柱体的附加质量研究

2024-07-09 19:02| 来源: 网络整理| 查看: 265

物体在流体中运动时会推动周围流体产生运动，从而受到流体施加的与运动物体加速度方向相反的反作用力，即所谓的惯性阻力。理论研究表明，即便物体在理想流体中作加速运动，该项阻力也会存在，且与物体的加速度成正比，其比即为附加质量。

对球体和圆柱体在无限域流体中的附加质量已有解析解[1-2]。基于势流理论，许多学者采用各种方法获得了物体的附加质量。陈材侃[3]借助于以势函数泛函表示的附加质量极大值原理，计算了圆球的附加质量系数。许维德等[4]计算了在无界域中及固壁附近运动回转体的附加质量。杨松林等[5]对直水道中细长体的附加质量进行了计算和研究。Landweber等[6]利用积分方程法研究了在无旋流中发生对心碰撞的2个物体的附加质量。David[7-8]通过Schwarz-Christoffel保角变换，研究了在浅水区域中椭圆柱的附加质量系数。林超友等[9]利用Hess-Smith方法计算了潜艇的附加质量。李宝元等[10]采用三维有限元法，计算了船在进出船厢运动中的附加质量。刘丹等[11]研究了在平流层飞艇的附加质量及其对飞艇运动的影响。王恭义[12]研究了物体在带自由表面的流体中作任意运动的附加质量。Pantaleone等[13]对圆球在抛体运动中的附加质量进行了试验研究。Sherwood[14]研究了2个共轴无厚度圆盘在无旋不可压缩流中发生轴向相对加速运动时的附加质量。Efstathios[15]研究了在自由流中作振动的圆柱的附加质量。Miroslav等[16]直接通过流场数值模拟，研究了刚性和可变形的球冠状物体的附加质量系数。目前，对于细长圆柱体在小间隙管流中作轴向运动的附加质量的研究尚不充分，冯双双等[17]利用CFX计算了短粗圆柱体在小间隙管道中作轴向运动的附加质量，但仍未涉及在反应堆工程上有很大应用价值的大长细比圆柱体的情况。例如，当发生地震时，核电站反应堆的控制棒组件应在自重作用下插入堆芯以使反应堆及时停堆。控制棒的长细比通常大于103，且其与管道的间隙不足1 mm。因此，开展细长圆柱体在小间隙管流中作轴向运动的附加质量的研究，对确保反应堆在地震作用下的安全停堆具有很大意义。

基于势流理论确定物体附加质量。通过将无限域中小球及圆管中作横向运动的圆柱的附加质量的数值解与解析解的对比，验证了算法的正确性。论文着重研究了具有不同端部形状的细长圆柱体在无限长管流中沿轴向运动时的附加质量，分析了不同长度的细长圆柱体在不同管流外径下的附加质量，揭示了细长圆柱体附加质量与柱体长度的线性关系；研究还表明，具有不同端部形状的细长圆柱体，其附加质量非常接近。

1 基于势流理论的附加质量计算方法 1.1 基本公式

当物体在势流(即理想不可压缩无旋流)中沿某方向作加速运动时，在该方向所引发的附加质量的计算公式为[1]

$ m=-\rho \iint\limits_{{{s}_{0}}}{{{\varphi }_{0}}}\frac{\partial {{\varphi }_{0}}}{\partial n}\text{d}s+\rho \iint\limits_{s}{{{\varphi }_{0}}}\frac{\partial {{\varphi }_{0}}}{\partial {{n}_{1}}}\text{d}s, $ (1)

式中:S0为物体表面(流体内边界面); S为流体域的(外)边界面；n和n1分别为S0和S的外法线；φ0是物体在运动方向上以单位速度运动时在流场中产生的速度势，即单位速度势。

若流场无限大，或流场外表面上速度为零，则式(1)中对S的积分可略去不计。即附加质量公式简化为

$ m=-\rho \iint\limits_{{{s}_{0}}}{{{\varphi }_{0}}}\frac{\partial {{\varphi }_{0}}}{\partial n}\text{d}s. $ (2)

势流的速度势φ0服从Laplace方程

$ {{\nabla }^{2}}{{\varphi }_{0}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{\varphi }_{0}}}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}{{\varphi }_{0}}}{\partial {{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}{{\varphi }_{0}}}{\partial {{z}^{2}}}=0. $ (3)

若在轴对称下，则相应的Laplace方程如下

$ {{\nabla }^{2}}{{\varphi }_{0}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{\varphi }_{0}}}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{1}{x}\frac{{{\partial }^{2}}{{\varphi }_{0}}}{\partial x}+\frac{{{\partial }^{2}}{{\varphi }_{0}}}{\partial {{y}^{2}}}=0, $ (4)

式(4)中，x为半径，y为旋转对称轴。

若Γ1和Γ2为边界S0的一个划分，则边界条件为

$ \text{Dirichlet}条件:{{\varphi }_{0}}=\tilde{\varphi }\ \ \ \ \text{on}\ \ \ {{\Gamma }_{1}}, $ (5) $ {\rm{Neumann}}条件:{V_n} = \frac{{\partial {\varphi _0}}}{{\partial n}} = \nabla {\varphi _0} \cdot \boldsymbol{n} = f\;\;\;\;{\rm{on}}\;\;\;{\Gamma _2}, $ (6)

其中：$\tilde \Phi $是Γ1上给定的速度势的值；f为Γ2上流体的外法线速度，它可由物体沿某方向的单位速度以及S0的法线方向确定出(Γ2是S0的一部分)。

对式(3)～(6)所构成的定解问题，可利用有限单元法进行求解，详见文献[18]。解得单位速度势后，代入式(2)，在物体的边界上积分即可求得物体的附加质量。

对于该Laplace方程的定解问题，具体的边界条件取法如下：

1)在固壁边界及流线上，即外圆管的柱面，由于没有法向速度，因此可不必施加边界条件。

2)在具有未知法向速度的边界上，施加本质边界条件(即自由度约束)。外圆管的上下底面可视为无限远处，边界条件为

$ {\varphi _0} = 0. $ (7)

3)在运动物体表面，依据物体运动速度及表面法线方向确定出流场侧的外法线速度，从而施加Neumann条件(6)。

1.2 验证算例

以2个有理论解的算例来考察研究算法及所编写代码的正确性。

1.2.1 无限域中运动的小球的附加质量

如图 1(a)，考察无限流域中小球的附加质量。采用轴对称模型，小球半径为1，沿轴向运动。计算区域的径向尺寸R为10，轴向尺寸H为100，边界条件为指定小球边界上(流体侧)的外法线速度，以及指定无限远处一点(流域下边界一点)势为零，其余边界无需指定边界条件。图 1(b)是小球附近区域的局部网格。程序的计算结果为0.500 672，与理论解0.5非常吻合。

图 1(Figure 1) 图 1 小球在无限域中运动的计算模型和网格 Figure 1 The computation model and mesh of a ball moving in infinite fluid domain 1.2.2 圆柱在同心圆管中横向运动的附加质量

半径为R、内部充满密度为ρ=1的无限长圆筒，其中有半径为r=1的无限长同心圆柱。当圆柱在轴线处开始作横向运动时，此时单位长度圆柱的附加质量的解析解为

$ m = \frac{{{R^2} + {r^2}}}{{{R^2} - {r^2}}} \cdot \pi {r^2}. $ (8)

考虑对称性，计算模型如图 2(a)所示，图 2(b)是其网格划分。边界条件为指定圆柱边界上(流体侧)的外法线速度，其余边界无需指定边界条件，即零法向速度。

图 2(Figure 2) 图 2 圆柱在同心圆管流作横向运动的计算模型及网格(R=5) Figure 2 The computation model and mesh of a cylinder moving laterally in coaxial pipe(R=5)

分别计算外圆柱半径依次为R=5、10、15、20的情况，并与解析解对比，见表 1。由计算结果可以看出，计算值与理论值非常吻合。

表 1(Table 1) 表 1 圆柱在同心圆柱中横向运动的附加质量 Table 1 The added mass of cylinders moving laterally in coaxial pipes 外圆柱半径R附加质量(理论值)附加质量(计算值)相对误差/% 53.403 3923.403 38-0.000 353 103.205 063.204 82-0.007 488 153.169 643.169 04-0.018 93 203.157 343.154 06-0.103 885 表 1 圆柱在同心圆柱中横向运动的附加质量 Table 1 The added mass of cylinders moving laterally in coaxial pipes 2 细长圆柱体的附加质量研究

对在圆管流中作横向运动的同心圆柱体，式(8)给出了其附加质量的解析解。然而，对在管流中沿轴向运动的同心圆柱体，如反应堆中的控制棒在堆芯导向筒内的落棒运动，其附加质量的分析目前可用的研究成果还较少。因此，此处着重研究具有不同端部形状的细长圆柱体在无限长管流中沿轴向运动时的附加质量，并通过改变管流半径、圆柱体长度等参数，揭示圆柱体的附加质量与这些参数的函数关系。

2.1 计算模型

研究具有不同端部形状的细长圆柱体在无限长管流中沿轴向运动时的附加质量，分别考察细长圆柱体两端不带物体(平头圆柱体)、两端带半球(圆头圆柱体)及两端带圆锥(锥头圆柱体)的附加质量，采用轴对称模型。图 3是不同端部形状下分析区域的示意图。

图 3(Figure 3) 图 3 圆柱体在无限长管流中沿轴向运动的计算模型 Figure 3 The computational model of cylinders moving axially in infinite pipe

如图 3，圆柱半径r=1，长度依次设为l=5、10、20、30、40、50、60、70、80、90、100。流体密度为ρ=1，管流半径依次设为R=1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、2、5和10。为模拟无限的管流，取管流长度为圆柱长度的200倍，即H=200l。圆柱以单位速度沿轴向(即y方向)运动，此时边界条件为指定细长圆柱上下底面边界上(流体侧)的外法线速度，以及指定无限远处一点(流域下边界一点)势为零，其余边界无需指定边界条件。图 4在R=2, l=5时的细长圆柱体底面附近区域的局部网格。

图 4(Figure 4) 图 4 圆柱端部网格(R=2, l=5) Figure 4 The partial mesh around the cylinder end(R=2, l=5)

数值分析的结果表明，在$\frac{l}{r}$≥5时，圆柱的附加质量与柱体长度成线性关系，图 5是$\frac{R}{r}$=1.1时，不同端部形状的细长圆柱的附加质量与柱体长度的拟合曲线。可以看出，不同的端部形状对附加质量的影响较小。

图 5(Figure 5) 图 5 不同端部形状的细长圆柱的附加质量与柱体长度拟合曲线(R=1.1) Figure 5 The fitted curves between the added mass and the cylinder length(R=1.1)

当$\frac{R}{r}$=1.1时，不同端部形状的细长圆柱的附加质量与柱体长度的拟合函数为

1)平头圆柱体

$ m = 14.96l + 4.404; $ (9)

2)圆头圆柱体

$ m = 14.96l + 12.81; $ (10)

3)锥头圆柱体

$ m = 14.96l + 5.143; $ (11)

在其他管流半径下，会得到相同的线性关系，其线性关系见表 2。

表 2(Table 2) 表 2 不同管径比下的斜率和截距 Table 2 The slopes and intercepts under different ratios of diameter R/r平头圆柱体圆头圆柱体锥头圆柱体斜率k截距b斜率k截距b斜率k截距b 1.27.1403.7557.1407.7247.1403.745 1.34.5533.4904.5535.7464.5533.134 1.43.2723.3523.2724.6973.2722.797 1.52.5133.2742.5134.0542.5132.590 2.01.0473.2261.0472.8201.0472.229 5.00.1313.5350.1312.3750.1312.349 10.00.0323.7110.0322.5090.0322.536 表 2 不同管径比下的斜率和截距 Table 2 The slopes and intercepts under different ratios of diameter

需要指出的是，以上线性关系均是在l≥5r时成立。在l < 5r时，圆柱与管壁间距离越小，圆柱的附加质量与其柱体长度的线性关系越良好。图 6是管流半径分别是R=1.1和R=10，圆柱长度分别是l=1、2、3、4、5、6、7、8、9、10时，圆头圆柱体附加质量与其长度的关系。

图 6(Figure 6) 图 6 非细长圆头圆柱体附加质量与其长度的关系 Figure 6 The relationship between added mass and length of short cylinder with rounded end 2.3 结果分析

数值分析结果可知，圆柱的附加质量与其柱体长度的线性关系依赖于管流半径与圆柱半径之比，管径比α=R/r。为方便工程应用，将线性关系中的斜率k和截距b与管径比α的变化关系拟合成如下函数。

1)平头圆柱体

$ k = \frac{{3.137}}{{{\alpha ^2} - 0.003027\alpha - 0.9969}},b = \frac{{3.925{\alpha ^2} - 3.768\alpha + 0.7551}}{{{\alpha ^2} - 0.372\alpha - }}0.4922, $ (12)

其拟合误差平方和分别为1.232e-07，6.676e-05。

2)圆头圆柱体

$ k = \frac{{3.138}}{{{\alpha ^2} - 0.002531\alpha - 0.9974}},b = \frac{{2.831{\alpha ^2} - 1.983\alpha + 3.652}}{{{\alpha ^2} + 0.7927\alpha - 1.7}}, $ (13)

其拟合误差平方和分别为1.274e-07，0.000 510 3。

3)锥头圆柱体

$ k = \frac{{3.138}}{{{\alpha ^2} - 0.002738\alpha - 0.9972}},b = \frac{{2.827{\alpha ^2} - 2.316\alpha + 1.324}}{{{\alpha ^2} + 0.4003\alpha - 1.223}}, $ (14)

其拟合误差平方和分别为9.514e-08，0.000 162 8。

物体的附加质量系数λ等于其附加质量除以排开流体的质量，即

$ \lambda = \frac{m}{{\rho V}}. $ (15)

将附加质量的计算结果代入上式计算圆柱的附加质量系数。当圆柱长度l=10时，不同管径比下，圆头圆柱体的附加质量系数λ的变化曲线见图 7。当圆柱长度l=10时，不同端部形状的圆柱的附加质量系数λ与管径比α的拟合函数为

图 7(Figure 7) 图 7 圆头圆柱的附加质量系数与管径比关系(l=10) Figure 7 The relationship between added mass coefficients and ratio of diameters(l=10)

1)平头圆柱体

$ \lambda = \frac{{0.1265{\alpha ^2} - 0.08775\alpha + 0.9773}}{{{\alpha ^2} - 0.003037\alpha - 0.9958}}, $ (16)

其拟合误差平方和为1.802e-07。

2)圆头圆柱体

$ \lambda = \frac{{0.08083{\alpha ^2} - 0.1119\alpha + 1.121}}{{{\alpha ^2} + 0.2607\alpha - 1.257}}, $ (17)

其拟合误差平方和为7.479e-07。

3)锥头圆柱体

$ \lambda = \frac{{0.08656{\alpha ^2} - 0.1103\alpha + 1.089}}{{{\alpha ^2} + 0.1994\alpha - 1.197}}, $ (18)

其拟合误差平方和为5.156e-07。

对于圆头圆柱体，其附加质量系数与管径比的拟合结果与文献[17]结论一致。

3 结论

1)在管流半径一定的情况下，细长圆柱体的附加质量与其柱体长度成线性关系，其斜率随着圆柱与管壁间距离的减小而迅速增大，给出了该线性关系的斜率和截距与管径比的拟合函数；

2)不同端部形状的细长圆柱体的附加质量十分接近，圆柱端部形状对其附加质量影响很小；

3)当圆柱长度一定时，其附加质量系数随管径比的减小而迅速增大，本文给出了当l=10时圆柱附加质量系数与管径比的拟合函数。对于圆头圆柱体的拟合结果与文献[17]结论一致。

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