漫步微积分三十四

还有一种去体积的方法，往往它比上篇文章的方法更加方便。

为了理解这种方法，考虑图1左边所示的区域，也就是，第一象限数轴和所示示曲线 y=f(x) 围成的区域。如果这个区域绕 x 轴旋转，那么图中的垂直窄带生成一个圆盘，我们能够从x=0到 x=b 区间上积分这些圆盘的体积得到总体积。当然，这是上篇文章中描述的圆盘法。然而，如果区域绕 y 轴旋转，就像图中间的那样，那么我们获得完全不同的物体，垂直窄带产生了很薄的圆柱壳。这个壳可以看做一个罐头，只是其顶部和底部已被去掉，或者很薄的纸板。其体积dV本质上是内圆柱表面积 (2πxy) 乘以厚度 (dx) ，所以

这个壳的半径 x 从x=0增长到 x=b ，从图1可以看出，圆柱壳序列填充沿着轴向外充满了整个物体。因此总体积就是 dV 体积元的和-或积分

其中 y=f(x) ，原则上，体积 V 也可以用水平窄带得到的水平圆盘来计算；然而我们会发现这非常困难，因为给定的方程y=f(x)无法用 y 来表示x。

和其他积分的应用一样，等式(1)(2)将涉及到和极限的复杂过程变成简洁的表达式，为了清楚起见，我们忽略这个过程的细节。

还跟之前一样，我们建议大家不要死记公式(2)。这个公式类似于对应的圆盘法公式，如果只是死记而不加思考的话，很容易将他们用混并打字自信。更好地方式是画图，直接从图中可见的信息来构建(1)，然后对形式(2)进行积分。此外，这种方法更大的优势，我们不用依赖于任何特定的符号，可以很容易将基本思想应用到各种轴旋转得到的物体上。

例1：上篇文章中我们用圆盘法计算了球体的体积。现在我们用圆柱壳法在此解决这问题(图2)。图中所示壳的体积为

因此球体的体积是

另外，我们考虑一个相关问题：如果一个直径为 a 的垂直洞通过了球中，那么如何找到剩余的体积。为此，显然积分dV 的区间变成从 x=a/2 到 x=a ，所以

这个问题可以用垫圈法解决，不是圆柱壳法更加方便。

例2： y=x2 上方和 y=2−x2 下方在第一象限围成的区域绕 y 轴旋转(图3)。为了用圆柱壳法求出体积，通过观察可以看出壳的高度为y=(2−x2)−x2=2−2x2，所以

因为曲线交点位于 x=±1 处，从而

大家常常错误的积分区域设置为从 x=−1 到 x=1 。这个不正确的原因可以从几何上理解，圆柱壳横扫从数轴向外横扫物体的半径是从0增加到l，不是从-l增加到1。

注意，如果我们试图用圆盘法解决这个问题，那么它需要计算两个积分-一个是曲线交点下面的体积，另一个是上面的体积。

例3：血流量。人类身体主动脉-大动脉-是一个管道，有人类拇指那样大。心脏通过跳动使血液通过动脉，靠近中心的血粒子移动速度约是 50 cm/s(20 in/s) 。另一方面，血液是粘稠的液体，动脉壁附近的血倾向于黏着在血管壁上，所以它的速度基本上为零。在这些情况下计算总流量的问题就需要用圆柱壳法积分得到。

我们用非常简单的想法开始，如果液体以恒定的速度 s0 流经圆柱管，那么单位时间通过一个某处的液体体积(流量F)是 s0A ， A 是血管的截面面积(图4)。

然而，我们知道，人体动脉中血液流动比这复杂得多。我们假设动脉是圆柱形，长度为L半径为 R (图5)。因为上面提到的粘度，在薄的圆柱内有血液流动，并且每层移动速度大约恒定而不同层的速度不同。这就是所谓的层流流动，血液在靠近动脉壁附近流速慢而中心位置流速快(如图5所示)，这样的话内部层滑到了外部的前面(图6)。

速度s和距中心距离 r 之间的确切关系是

其中 P 是动脉之间的压力差，η是血液的粘度。我们注意到，如果速度 r=R ，那么速度为零；如果 r=0 ，那么速度最大为 PR2/4ηL 。通常用厘米 (cm) 来度量 R,r,L ，用 dynes/cm2 来度量 P ,dyne−s/cm2来度量 η ，这样的话 cm/s 度量 s 。对于人体而言一般R=0.2 cm，常数 P/4ηL 是500。根据这些值(3)变为

这个函数图像时抛物线的一部分(图7)并且它还说明随着血粒子靠近血管壁，它的速度趋近于零。中心的速度为 20 cm/s ，但是当 r=0.15 时，速度只有 s=20−500(0.15)2=8.75 cm/s 。

现在，为了计算流量 F (单位时间通过某处的总体积)，我们写出半径为r厚度为 dr 的圆柱壳的流量元 dF ：

剩下的工作是将所有的壳加起来，即从 0 到R进行积分：

这个公式

心血管生理学领域叫做 Poiseuille′s law 。它表明流量与动脉半径的四次方成正比，所以半径增加一倍流量要乘以16。