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圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证:∠BOC=2∠BAC.证明:情况1:如图1,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时: 图1 ∵OA、OC是半径解:∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO(等边对等角)∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC情况2:如图2,,当圆心O在∠BAC的内部时:连接AO,并延长AO交⊙O于D 图2 ∵OA、OB、OC是半径解:∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等边对等角)∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC情况3: 如图3,当圆心O在∠BAC的外部时: 图3连接AO,并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。解:∵OA、OB、OC、是半径∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO(等腰三角形底角相等),∠CAD=∠ACO(OA=OC)∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC利用这个定理,把把相等的圆弧对的圆周角,转化为圆心角,利用三角形全等就可以证明。 |
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