运筹说 第13期

       线性规划（Linear programming，LP），是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

       通过对线性规划的基础知识的梳理和总结，小编绘制了《线性规划及单纯形法思维导图》，如下所示。线性规划及单纯形法章节一共有5个知识点和15个子知识点。5个知识点分别是线性规划数学模型、图解法、单纯形法的原理、单纯形法计算步骤以及单纯形法的进一步讨论。

第1个知识点是线性规划数学模型，该部分有3个子知识点，包括数学模型的“3要素”、线性规划问题的标准形式“4要求”以及如何将非标准形式转化为标准形式“6准则”；

第2个知识点是图解法，图解法简单直观，便于初学者了解线性规划基本原理和几何意义，但该方法只能用来求解只有两个决策变量的线性规划问题。图解法包括3个子知识点，分别是图解法的步骤、解的类型以及图解法对求解一般线性规划问题单纯形法的启示；

第3个知识点是单纯形法原理，该部分有4个子知识点，分别是线性规划问题解的相关概念、凸集及其顶点定义、定理及引理的证明以及单纯形法迭代原理；

第4个知识点是单纯形法的计算步骤，单纯形法适用于任意变量的线性规划问题，其主要有3个子知识点，分别是求初始基可行解并列出初始单纯形表、最优性检验、转换基可行解；

第5个知识点是单纯形法的进一步讨论，包括2个子知识点，分别是添加人工变量后线性规划问题的计算方法，即人工变量法和两阶段法，以及单纯形法中解的说明。

      今天，小编先带大家学习一下前两个大知识点，即线性规划的数学模型和图解法。

       线性规划的数据模型由三个要素构成：决策变量、目标函数、约束条件。

       怎样辨别一个模型是线性规划模型？

       其特征是：

问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；

问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。

       线性规划模型的一般形式为：       用向量形式表达时，上述模型可以写为：

       用矩阵和向量形式来表示可写为：

       由于目标函数和约束条件内容及形式上的差距，线性规划问题可以有多种表达式，为了便于讨论和制定统一的算法，规定线性规划问题的标准形式如下：

       标准形式有如下四个特征：

目标函数求max；

约束条件两端用“=”连结；

右端常数项非负；

所有决策变量非负。

       对于不符合标准形式（非标准形式）的线性规划问题，可通过下列方法化为标准形式：

       小编用一个例题带大家更好地了解非标准形式的转化：

       图解法是利用几何图形来求解线性规划问题的一种方法，它简单直观，有助于说明一般线性规划问题求解的基本原理。但图解法只能用于求解只包含两个决策变量的线性规划问题。

       图解法的步骤可以概括为：建立平面直角坐标系；图示约束条件求可行域；图示目标函数；寻找最优解。如下所示：

       线性规划问题的求解可能会出现四种结局，分别是有唯一的最优解、无穷多最优解、无界解以及无解或无可行解。

求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解；

若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集；

若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一一定是可行域的凸集的某个顶点；

解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算在顶点处的目标函数值。比较周围相邻顶点的目标函数是否比这个值大，如果为否，则该顶点就是最优解的点或最优解的点之一，否则转到比这个点的目标函数值更大的另一顶点，重复上述过程，一直到找出使目标函数值达到最大的顶点为止。

       通过小编的整理，大家是否对线性规划有了更清晰的了解和认识呢？那么，快快加入到线性规划的学习中来吧！下次小编将分享单纯形法，敬请关注！ 

作者 | 郑鑫  陈优

责编 | 何洋洋

审核 | 徐小峰