学科前世今生

数学是竞赛的重头科目，北大清华等一流大学的数院汇聚了全国数学竞赛的获奖者。出色的数学成绩也是参加强基计划的通行证，即便进入大学“高数”也是必修课。每天被圆锥曲线、函数、几何折磨的你对这些数学知识点的前世今生又有多少了解呢？这篇文章就带你揭开数学的“庐山真面目”。

本期内容：

★数学考点与历史回顾

★专业设置与就业前景

寻根现代数学

一位考生通过了北大哲学系的自招面试，获得了加20分的优惠政策，入校后，他偶然了解到老师当时选中他竟然是因为他的数学成绩很优秀。哲学系的老师为何会看重学生的数学能力呢？

如果从数学的源头上来看，哲学系老师偏爱数学好的同学就不难理解了。

“数”这个字在西方的希腊语中释义是“学问的基础”，数学思维和哲学在思维上也有相通之处，比如无限的思维、演绎法、归纳法、定理证明方式等。

有人说“物理的尽头是数学，数学的尽头是哲学”，这句话不无道理。学好数学不仅能帮助提高理工科成绩，还有助于学好文科呢！

现代数学分为纯粹数学和应用数学，顾名思义，纯粹数学研究数学理论；应用数学希望解决数学实际问题。纯粹数学的研究领域包括数论、组合数学、群论、几何、微积分等，这也是数学竞赛的高频考点。下面，我们就来看一看这些经常难倒大家的考点的历史。

数论早期称为算术，这门学科最早是从研究整数开始的。自古以来，由于整数在我们的实际生活中应用广泛，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，比如求最大公约数、勾股定理、某些不定方程整数解的问题等都是关于数论的问题。

在国外，古希腊时代的数学家对于数论中最基础的“整除性”问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列的概念已经被提出来了。到了十八世纪，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，德国数学家高斯集前人之大成，写成了《数学探讨》一书，这部书的发表标志着现代数论的新纪元。

组合数学历经数千年的发展历程，简单地说，组合数学是“按照一定的规则（模式）来安排一些离散个体”，组合数学在生活应用方面发挥着重要作用。比如中国组合数学家管梅谷教授提出的中国邮差问题：邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样走走过的路程最短？

这就是一个典型的组合数学问题，管教授给出的解决方法用到了存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。

中国最早的组合数学理论可以追溯到宋朝时期的“贾宪三角”，后来被杨辉引用，所以普遍称之为“杨辉三角”。说到“杨辉三角”大家应该不陌生，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。

1666年，莱布尼兹所著《论组合的艺术》一书问世，书中首次使用组合论（combinations）一词，这是关于组合论的第一部专著。

群论是现代数学的另一个重要分支，什么是“群”呢？举个例子，整数集Z，有理数Q，实数集R在通常情况下都是群，单位都是0，a的逆元是-a。

群论起源于“解方程”的问题，阿贝尔解决了构造任意次数的代数可能的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题，法国数学家伽罗华开始接手阿贝尔未尽的事业，他提出了“群”的概念，用群的理论彻底解决了根式求解代数方程的问题，并由此发展出了一套关于群和域的问题。

几何分析是高考和竞赛的必考题，其实最早的几何学起源于古埃及，尼罗河每年7月会定期泛滥，11月洪水减退后，国王会让人重新丈量土地确定租金，但是那个时候人们没有尺子、单位，也不知道面积的计算方法。只能自己摸索如何测量不规则土地的面积，并用统一的单位记录，就这样产生了测量土地的方法，这就是几何学的起源。

公元前3世纪，欧几里得创造了《几何原本》，这个课本里不仅包含欧几里得定理，还包括数论、代数、立体几何方面的知识，它还给出了公理体系、演绎法这种令人惊叹的方法论，使严密的科学成为可能，这是整个人类历史上的伟大成就。

如果让你测算一个不规则图形的面积，你会怎么办？随着微积分的诞生，这个问题迎刃而解啦！早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法，这是微积分的先驱，公元263年，刘徽为《九间算数》作注时提出了“割圆术”，用正多边形来逼近圆周，蕴含着极限的思想。

牛顿和莱布尼兹正式提出了微积分，1605年，牛顿提出了“流数术”。1684年，莱布尼兹在《都市期刊》上发表了关于微积分的论文。由于牛顿的研究比莱布尼兹早10年，但论文发表却晚三年，所以关于究竟是谁是微积分的原创者的问题曾引起长期争论，如今我们的共识是微积分是由这二人共同创造的。

回顾了纯粹数学重要考点的历史，你是不是也惊叹于数学家们的超强大脑呢？在纯粹数学的基础上，解决实际问题的应用数学也蓬勃发展。

应用数学力图用数学知识解决实际问题，在物理学、计量化学和生物计量学中也有应用。数学也广泛应用于工程、建筑、电气系统、金融、计算机等领域。生活中，当我们做出理财决策，查看天气预报，分析股价走势时都离不开数学知识。应用数学的基础是纯粹数学，学好竞赛也有助于我们用数学解决实际问题。

专业设置与就业前景

高校的数学专业研究内容为纯粹数学，课程包括数学分析、高等代数、解析几何、微分几何、概率论、数论、抽象代数等，侧重于数学理论研究，其中数分、数论、几何也是数学竞赛的必考试题。北大、清华、北师大、南开、复旦、浙大、中科大等校的数学专业都是国家一级学科。

应用数学专业在数学专业的基础上强调利用数学方法解决实际问题，培养能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。主要课程既包括基础数学又包括数学模型、计算机基础、数值方法、物理学等应用型课程。

数学世界精彩纷呈，经历了漫长发展时期的数学是人类智慧的结晶。纯粹数学探究抽象理论，应用数学让我们的生活更美好。学好竞赛数学是进入纯粹或应用数学的敲门砖，它提高的不仅是你的能力，还有你改变世界的机会！

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