岭回归

岭回归(Ridge regression),也叫L2正则化（L2 regularization），是一种专用于共线性（即自变量之间高度相关）数据分析的有偏估计回归方法，用于研究变量之间的关系以及估计因变量基于自变量的变化情况。它通过引入L2范数惩罚项来约束模型复杂度，从而降低了模型过拟合的风险，提高了模型的泛化性能。岭回归实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数，对病态数据的拟合要强于最小二乘法。随着大数据时代海量数据的涌现，岭回归因其在稀疏性和稳定性方面的特性，在金融风险分析、生物医学数据分析、信号处理等领域得到广泛应用。

输入:自变量 X 至少一项或以上的定量变量或二分类定类变量，因变量 Y 要求为定量变量（若为定类变量，请使用逻辑回归）。输出:模型检验优度的结果，自变量对因变量的线性关系等等。​

案例:通过自变量（房间面积、楼层高度、房子单价、是否有电梯、周围学校数量、距地铁站位置）拟合预测因变量（房价），现在发现房子单价与楼层高度之间有着很强的共线性，VIF 值高于 20；不能使用常见的最小二乘法 OLS 回归分析，需要使用岭回归模型。

岭回归案例数据

Step1：新建分析；Step2：上传数据；Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；step4：选择【岭回归（Ridge）】；step5：查看对应的数据数据格式，【岭回归（Ridge）】要求自变量 X 至少一项或以上的定量变量或二分类定类变量，因变量 Y 要求为定量变量。step6：点击【开始分析】，完成全部操作。

输出结果 1：岭迹图图表说明: 通过岭迹图，确定 K 值。K 值的选择原则是各个自变量的标准化回归系数趋于稳定时的最小 K 值。但通过岭迹图分析方法确定的岭参数 k 在一定程度上存在主观人为性，spsspro 采用方差扩大因子法自动确定 K=0.162。​

输出结果 2：岭回归分析结果图表说明:岭回归的结果显示：基于字段面积、楼层、单价、周围学校数量(1km)、距地铁站距离(km)、配套电梯回归模型显著性 𝑝 值为 0.000，水平上呈现显著性，拒绝原假设，表明自变量与因变量之间存在着回归关系。同时，模型的拟合优度 𝑅² 为 0.956，模型表现为较为较为优秀，因此模型基本满足要求。 模型的公式：总价=-64.72 ＋ 0.987 × 面积-0.043 × 楼层＋ 0.008 × 单价-0.447 × 周围学校数量(1km)-4.198 × 距地铁站距离(km)-3.674 × 配套电梯

输出结果 3：模型路径图 ​

输出结果 4：模型结果图图表说明:上图以可视化的形式展示了本次模型的原始数据图、模型拟合值。​

岭回归（Ridge Regression）是回归方法的一种，属于统计方法。在机器学习中也称作权重衰减。也有人称之为 Tikhonov 正则化或L2正则化。岭回归不进行特征选择，所以它不能通过消除特征来减少模型复杂性。但是，如果一个或多个特征对模型的输出影响过大，岭回归可以通过L2惩罚项来缩小模型中高的特征权重（即系数）。这样可以降低模型的复杂性，使模型的预测不那么过度依赖任何一个或多个特征。

岭回归主要解决的问题是两种：

当输入的数据特征数比样本点还多时，意味着此时输入数据的矩阵X不是满秩矩阵，非满秩矩阵不可求逆，因此不能使用普通的线性回归来做预测。而岭回归在矩阵XTX中加入了一个λI使得矩阵非奇异，从而对XTX+λI求逆。此时，回归系数的计算公式为：

其中，I是一个单位方阵。这里通过引入λ来限制所有w的和，从而能够减少不重要的参数，在统计学上，这叫系数缩减（coefficient shrinkage）。

一般的，回归分析的（矩阵）形式如下：

L2惩罚项被插入到函数末尾，形成新的形式，即岭回归估计器（ridge regression estimator），其中，它对模型的影响由超参数λ控制：

请注意，岭回归并不会以相同的幅度收缩每个系数。相反，系数的收缩程度与其初始大小成比例。随着 λ 的增加，初始值较高的系数将比初始值较低的系数更快地收缩。因此，高数值的系数受到的惩罚也比低数值的系数更大。

[1] Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. (Version 1.0.11)[Online Application Software]. Retrieved from https://www.spsspro.com. [2] 刘超,回归分析——方法、数据与 R 的应用,高等教育出版社,2019 [3] Jacob Murel Ph.D., Eda Kavlakoglu.What is ridge regression?.2023(11). Retrieved from: https://www.ibm.com/topics/ridge-regression