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文章目录
回归分析是数学建模的有力工具例如：
回归分析的主要步骤：本节主要内容：
实例及其数学模型：例1 血压与年龄：模型建立及求解：
例2 血压与年龄、体重指数、吸烟习惯 ：模型建立及求解：
例3 软件开发人员的薪金：模型建立及求解：
例4 酶促反应：模型建立及求解过程：
一元线性回归的统计分析 ：1.一元线性回归模型:2.回归系数的最小二乘估计:3.一元线性回归的统计分析:1.误差方差的估计2. 回顾系数的区间估计和假设检验3.模型的有效性检验
4. 利用一元线性回归模型进行预测 :5. 一元线性回归的MATLAB实现:实例1——血压与年龄：求解结果及其分析：
多元线性回归分析 ：1 . 多元线性回归模型：2 . 多元线性回归的统计分析：1.误差方差的估计2. 回归系数的区间估计和假设检验3.模型的有效性检验4 . 利用多元线性回归模型进行预测:3 . 多元线性回归的MATLAB实现:
4. 线性最小二乘拟合与多元线性回归的一般形式5 . 多元线性回归中的交互作用:例3 软件开发人员的薪金:- 用残差分析发现交互作用:
matlab代码：代码结果：
回归分析是数学建模的有力工具
由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系;人们关心的变量(因变量)受另外几个变量(自变量)的关联性(非因果性)的影响，并且存在众多随机因素，难以用机理分析方法找出它们之间的关系；需要建立这些变量的数学模型，使得能够根据自变量的数值预测因变量的大小，或者解释因变量的变化。
例如：
薪金与资历、教育程度、工作岗位 ; 血压与年龄 、血压与年龄
回归分析的主要步骤：
收集一组包含因变量和自变量的数据 选定因变量与自变量之间的模型，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数；利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型；判断得到的模型是否适合于这组数据, 诊断有无不适合回归模型的异常数据；利用模型对因变量作出预测或解释。
本节主要内容：
从应用角度介绍回归分析的基本原理、方法和软件实现
简化的实际问题及其数学模型一元线性回归多元线性回归非线性回归
实例及其数学模型：
例1 血压与年龄：
为了解血压随年龄增长而升高的关系，调查了30个成年人的血压（收缩压，mmHg）与年龄:  用这组数据确定血压与年龄的关系； 从年龄预测血压可能的变化范围； 回答 “平均说来60岁比50岁的人血压高多少”。
模型建立及求解：
例2 血压与年龄、体重指数、吸烟习惯 ：
又调查了例1中30个成年人的体重指数、吸烟习惯:
模型建立及求解：
例3 软件开发人员的薪金：
建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系，分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考.
模型建立及求解：
例4 酶促反应：
酶~高效生物催化剂; 酶促反应~经过酶催化的化学反应； 酶促反应的反应速度主要取决于反应物（底物）的浓度:
底物浓度较小时，反应速度大致与浓度成正比；底物浓度很大、渐进饱和时，反应速度趋于固定值.  为研究酶促反应中嘌呤霉素对反应速度与底物浓度之间关系的影响, 设计了两个实验 : 使用的酶经过嘌呤霉素处理; 使用的酶未经嘌呤霉素处理。
模型建立及求解过程：
一元线性回归的统计分析 ：
1.一元线性回归模型:
2.回归系数的最小二乘估计:
3.一元线性回归的统计分析:
1.误差方差的估计
2. 回顾系数的区间估计和假设检验
3.模型的有效性检验
4. 利用一元线性回归模型进行预测 :
5. 一元线性回归的MATLAB实现:
实例1——血压与年龄：
求解结果及其分析：
多元线性回归分析 ：
1 . 多元线性回归模型：
2 . 多元线性回归的统计分析：
1.误差方差的估计
2. 回归系数的区间估计和假设检验
3.模型的有效性检验
4 . 利用多元线性回归模型进行预测:
3 . 多元线性回归的MATLAB实现:
4. 线性最小二乘拟合与多元线性回归的一般形式
5 . 多元线性回归中的交互作用:
例3 软件开发人员的薪金:
- 用残差分析发现交互作用:
matlab代码：
y=[144 215 138 145 162 142 170 124 158 154 162 150 140 110 128 130 135 114 116 124 136 142 120 120 160 158 144 130 125 175];
x=[39 47 45 47 65 46 67 42 67 56 64 56 59 34 42 48 45 18 20 19 36 50 39 21 44 53 63 29 25 69];
n=length(y);
X=[ones(n,1) x'];
[b,bint,r,rint,s]=regress(y',X);
b,bint,s,s2=sum(r.^2)/(n-2) %误差的方差的
rcoplot(r,rint) %残差的置信区间
pause
y=[y(1) y(3:30)];
x=[x(1) x(3:30)];
n=length(y);
X=[ones(n,1) x'];
[b,bint,r,rint,s]=regress(y',X);
b,bint,s,s2=sum(r.^2)/(n-2)
rcoplot(r,rint)
pause
y0=b(1)+b(2)*50; % 预测y(x=50)
xb=mean(x);
sxx=sum((x-xb).^2);
a=sqrt((50-xb)^2/sxx+1/n+1);
t=tinv(0.975,n-2);
d=t*a*sqrt(s2);
y1=y0-d;y2=y0+d; % 预测y(x=50)区间（t分布）
[y0 y1 y2]
d1=norminv(0.975)*sqrt(s2);
y3=y0-d1;y4=y0+d1;
[y0 y3 y4]
代码结果：
>> xueya1
b =
98.4084
0.9732
bint =
78.7484 118.0683
0.5601 1.3864
s =
0.4540 23.2834 0.0000 273.7137
s2 =
273.7137
b =
96.8665
0.9533
bint =
85.4771 108.2559
0.7140 1.1925
s =
0.7123 66.8358 0.0000 91.4305
s2 =
91.4305
ans =
144.5298 124.5406 164.5190
ans =
144.5298 125.7887 163.2708
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