龙格

        在看关于机动飞行的论文里，采用了四步龙格-库塔方法进行微分方程组的求解，所以我学习了龙格-库塔方法相关内容，并整理记录如下。

        龙格-库塔法是数值求解微分方程的一个工具，最经典的是四阶龙格-库塔法，即式（2）。关于常微分方程的基础知识参见： https://zhuanlan.zhihu.com/p/38573924  ，对一般微分方程有：                                        

        设x的范围为，将其离散为n段，令在其中步进，定义步长。是当时对应的y值，于是通过一系列的推导可以得到下一步的y值如公式（2），具体推导过程见下方链接：

https://www.bilibili.com/video/BV1YJ411x7S1（27分30秒附近）

其中，

        下面以一个例子进行说明，参考来源：https://www.bilibili.com/video/BV1YJ411x7S1  （在34分00秒附近）利用四步龙格-库塔法求下面微分方程（式3）的近似解：

        该微分方程有解析表达式，通过下面知乎链接方法中的第7条：伯努利方程形式，可以求得解析表达式为式（4），可得精确解如图（a）。另外基于龙格-库塔方法采用python 编程，计算如图（b），通过对比发现，龙格库塔方法的精度高，与精确解差距不大。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/56466991?utm_source=qq&utm_medium=social&utm_oi=1342275633892904960

图 3 解析解与数值解的对比

##################################井号以内为源码

import matplotlib.pyplot as plt

import math

def f_function(x,y):     #完成对微分方程的表达

    y_pie=0.0

    #y_pie=math.cos(x)   #对于不同的微分方程，这里采用不同的表达式

    y_pie=y-2.0*x/y

    return y_pie

def f_accurate(x):

    y_accu=math.sqrt(2.0*x+1)#计算精确解

    return y_accu

#存储各步进状态时的值

xlist=[]

ylist=[]

#存储解析解的值

y_accurate_list=[]

#赋初值

x=0.0

y=1.0

h=0.1

#对x范围内步进

while x