【信号与系统】（四）信号与系统概述

系统(system)：是指若干相互关联的事物组合而成,具有特定功能的整体。 表示如下：

系统的基本作用：对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。

系统模型：对实际系统的理想化。

定义: 系统在任意时刻 t 0 t_0 t0​的状态，是指取该时刻最少数目的一组数，这组数连同 t 0 t_0 t0​以后的输入足以确定 t > t 0 t>t_0 t>t0​时刻的输出。 （系统具有记忆能力。系统具有历史结果）

手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统，它们所传送的电波、语音、音乐、图像、文字等都可以看成信号。

若系统的输入信号，输出信号都是连续信号，则称该系统为连续时间系统。

若系统的输入信号，输出信号都是离散信号，则称该系统为离散时间系统。

若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。含有记忆元件（电容、电感等）的系统都是动态系统；否则称为即时系统或无记忆系统（如电阻电路）。

顾名思义。

线性系统是指满足线性性质的系统。

齐次性： a f 1 ⟶ a y 1 a f_{1} \quad \longrightarrow \quad a y_{1} af1​⟶ay1​

可加性： f 2 ⟶ y 2 f 1 + f 2 ⟶ y 1 + y 2 \begin{array}{clc}f_{2} & \longrightarrow & y_{2} \\f_{1}+f_{2} & \longrightarrow & y_{1}+y_{2}\end{array} f2​f1​+f2​​⟶⟶​y2​y1​+y2​​ 线性性： a f 1 + b f 2 ⟶ a y 1 + b y 2 a f_{1}+b f_{2} \quad \longrightarrow \quad a y_{1}+b y_{2} af1​+bf2​⟶ay1​+by2​

T [ a f 1 ( ⋅ ) + b f 2 ( ⋅ ) ] = a T [ f 1 ( ⋅ ) ] + b T [ f 2 ( ⋅ ) ] T[a f_1(·) + bf_2(·)] = aT[ f_1(·)] + bT[ f_2(·)] T[af1​(⋅)+bf2​(⋅)]=aT[f1​(⋅)]+bT[f2​(⋅)]

动态系统的响应不仅与激励 { f ( ⋅ ) } \{ f (·) \} {f(⋅)}有关，而且与它过去的状态 { x ( 0 ) } \{x(0)\} {x(0)}有关。即系统的完全相应可分解为两部分——仅仅由输入产生的（零状态）响应和仅仅由状态产生的（零输入）响应，即具有可分解性。

完全响应： y ( ⋅ ) = T [ { f ( ⋅ ) } , { x ( 0 ) } ] , f 为 输 入 ， x 为 状 态 y (·) = T [\{ f(·) \},\{x(0)\}],f为输入，x为状态 y(⋅)=T[{f(⋅)},{x(0)}],f为输入，x为状态

零状态响应：

y z s ( ⋅ ) = T [ { f ( ⋅ ) } , { 0 } ] y_{zs}(·) = T [\{ f(·) \}, \{0\}] yzs​(⋅)=T[{f(⋅)},{0}]

y z i ( ⋅ ) = T [ { 0 } ， { x ( 0 ) } ] y_{zi}(·) = T [ \{0\}，\{x(0)\}] yzi​(⋅)=T[{0}，{x(0)}]

当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：

时不变系统：系统输入延迟多少时间，其零状态响应也相应延迟多少时间。系统不随时间变化

时不变性： f ( t − t d ) ⟶ y z s ( t − t d ) f\left(t-t_{d}\right) \longrightarrow y_{z s}\left(t-t_{d}\right) f(t−td​)⟶yzs​(t−td​)

T [ { 0 } ， f ( t − t d ) ] = y z s ( t − t d ) T[\{0\}，f(t - t_d)] = y_{zs}(t - t_d) T[{0}，f(t−td​)]=yzs​(t−td​)

以灯泡开关为例。昨天，你把开关一开，灯亮了；今天，开关一开，灯也亮了就是时不变，如果灯没亮，就是时变。

若 f ( ⋅ ) f (·) f(⋅)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则该系统为时变系统。

线性时不变(Linear Time-Invariant)系统，简称LTI系统。

(1)微分特性： 若 f ( t ) → y z s ( t ) ， 则 f ′ ( t ) → y z s ′ ( t ) 若 f (t) → y_{zs} (t)， 则 f ' (t) → y_{zs}' (t) 若f(t)→yzs​(t)，则f′(t)→yzs′​(t)

(2)积分特性： 若 f ( t ) → y z s ( t ) ， 则 ∫ − ∞ t f ( x ) d x = ∫ − ∞ t y z s ( x ) d x 若 f (t) → y_{zs} (t)， 则\int_{-\infty}^tf(x)dx=\int_{-\infty}^ty_{zs}(x)dx 若f(t)→yzs​(t)，则∫−∞t​f(x)dx=∫−∞t​yzs​(x)dx

定义 因果系统是指零状态响应不会出现在激励之前的系统。

即对因果系统，当 t < t 0 t\lt t_0 t0 ε(t)表示：t>0 ε ( t − 1 ) 表 示 ： t > 1 \varepsilon(t-1)表示：t>1 ε(t−1)表示：t>1

一个系统，若对有界的激励 f ( ⋅ ) f(\cdot) f(⋅)所产生的零状态响应 y z s ( ⋅ ) y_{zs}(\cdot) yzs​(⋅)也是有界的，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即若 ∣ f ( ⋅ ) ∣ < ∞ |f(\cdot)|\lt \infty ∣f(⋅)∣