3.2.1 倍角公式公开课教案（教学设计）

3.2.1　倍角公式 高中数学       人教B版2003课标版

1.知识与技能：

(1)掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及变形公式（降幂公式）；

(2)能够正确应用公式进行简单的三角函数化简求值。

2.过程与方法：

(1)通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理内容能力；

(2)通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。

3.情感、态度和价值观：：

引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.

从学生角度看，学生已经掌握了两角和与差的三角函数公式；从学习方面看，学生具有主动学习知识的热情，但是探究能力较弱

重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，降幂公式的简单应用。

难点：理解二倍角公式及其变形公式（降幂公式），用降幂公式和辅助角公式将解析式化为符合“三个一”的形式。

课前学生已完成导学案第一页，现总结做题情况

师：我们已经学习了倍角公式，这节课我们学习倍角公式第二课时的内容，同学们把导学案准备好，大家在课前已经完成了导学案的第一页，对于倍角公式同学们写的还不错，一会老师要检查一下大家的记忆情况，（展示写的比工整的学生的导学案）。下面我们来看课前探究这个问题，老师已经把一位同学的答案打在了PPT上，写得很工整，但有些小问题，请同学们挑错。

生：（挑错）

师：拿到这个问题，我们先来分析一下这道题的函数是否满足之前提过的“三个一”的形式？

生：不满足

师：还记得“三个一”是什么吗？

生：一名、一角、一次

师：那么这个函数可不可以化成满足“三个一”的形式呢？看这位同学的思路，首先用二倍角公式的逆用，将原来二次式化为一次式，实现了一个降幂的过程，再用辅助角公式把它化成“一名、一角”的形式，但是以后我们遇到的大部分解析式都不能直接用倍角公式的逆用实现降幂过程，那么该如何处理呢？这就是我们这节课要研究的重点——降幂公式（板书课题）

探索sinαcosα、sin²α、cos²α、tan²α的表达式

师：同学们分小组讨论，利用正弦倍角公式、余弦倍角公式将sinαcosα、sin²α、cos²α、

tan²α的表达式推导出来，小组完成之后派代表上黑板写出结果。

降幂公式的结构特点

师：请同学们看一看公式的结构特点，左边到右边实现了由二次到一次的降幂过程，角实现了由α到2α的转换，同学们要在理解的基础上进行记忆，下面给大家一分钟的时间记忆公式。

检测倍角公式与降幂公式的记忆情况

师：请一组同学分别选择题签，每个题签后面是一个公式，要求说出公式的完整形式。

生：选题并完成公式

师：7,8,9为一组抢答题，组员抢答其他成员可以帮忙。

化简第一组：sinΘ2 cosΘ2 = __________

                     sin22α=__________

cos²wx= __________

化简求值第二组：

                    sin22°30′cos22°30′=__________

                    cos2π12  =__________

                   sin²75°=__________

（剩下的三个小组完成，派代表到黑板板书，其他同学在导学案上完成）

化简求值第三组：（师生共同完成）

                    cos4π12 −sin4π12  =__________

                   cos40°（√3tan10°+12 ） ​=__________

做相关习题

1. 若函数ƒ (x)=sin2x−12 (x∈R)  ，则f(x) 是（    ）

A．最小正周期为π2   的奇函数          

B．最小正周期为π 的奇函数

C．最小正周期为2π 的偶函数         

D．最小正周期为π 的偶函数

2．已知函数f(x)=(sinx-cosx)cosx,x∈R，则关于f(x)下列结论正确的是：

①函数的最小正周期为π；

②图象关于点（π8 ,0）  中心对称；

③图象关于直线x=π8   对称；

④图象关于直线x=3π8   对称；

⑤函数值域为图象关于[−√32 −12 ,√22 +12 ] 

3.已知函数ƒ (x)=sin2ωx+√3sinωxsin(ωx+π2 )(ω>0) ​ 的最小正周期为π

（Ι）求ω的值．（ΙΙ）求函数的值域

从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结。

师：引导学生回忆本节课的知识，本节课重点是降幂公式，要会用降幂公式和辅助角公式对解析式进行化简，使得解析式满足“三个一”的形式，今后学习和差化积和积化和差也是将解析式化为“三个一”的工具，同学们在今后要多加练习。

3.2.1　倍角公式

3.2.1　倍角公式

课前学生已完成导学案第一页，现总结做题情况

师：我们已经学习了倍角公式，这节课我们学习倍角公式第二课时的内容，同学们把导学案准备好，大家在课前已经完成了导学案的第一页，对于倍角公式同学们写的还不错，一会老师要检查一下大家的记忆情况，（展示写的比工整的学生的导学案）。下面我们来看课前探究这个问题，老师已经把一位同学的答案打在了PPT上，写得很工整，但有些小问题，请同学们挑错。

生：（挑错）

师：拿到这个问题，我们先来分析一下这道题的函数是否满足之前提过的“三个一”的形式？

生：不满足

师：还记得“三个一”是什么吗？

生：一名、一角、一次

师：那么这个函数可不可以化成满足“三个一”的形式呢？看这位同学的思路，首先用二倍角公式的逆用，将原来二次式化为一次式，实现了一个降幂的过程，再用辅助角公式把它化成“一名、一角”的形式，但是以后我们遇到的大部分解析式都不能直接用倍角公式的逆用实现降幂过程，那么该如何处理呢？这就是我们这节课要研究的重点——降幂公式（板书课题）

探索sinαcosα、sin²α、cos²α、tan²α的表达式

师：同学们分小组讨论，利用正弦倍角公式、余弦倍角公式将sinαcosα、sin²α、cos²α、

tan²α的表达式推导出来，小组完成之后派代表上黑板写出结果。

降幂公式的结构特点

师：请同学们看一看公式的结构特点，左边到右边实现了由二次到一次的降幂过程，角实现了由α到2α的转换，同学们要在理解的基础上进行记忆，下面给大家一分钟的时间记忆公式。

检测倍角公式与降幂公式的记忆情况

师：请一组同学分别选择题签，每个题签后面是一个公式，要求说出公式的完整形式。

生：选题并完成公式

师：7,8,9为一组抢答题，组员抢答其他成员可以帮忙。

化简第一组：sinΘ2 cosΘ2 = __________

                     sin22α=__________

cos²wx= __________

化简求值第二组：

                    sin22°30′cos22°30′=__________

                    cos2π12  =__________

                   sin²75°=__________

（剩下的三个小组完成，派代表到黑板板书，其他同学在导学案上完成）

化简求值第三组：（师生共同完成）

                    cos4π12 −sin4π12  =__________

                   cos40°（√3tan10°+12 ） ​=__________

做相关习题

1. 若函数ƒ (x)=sin2x−12 (x∈R)  ，则f(x) 是（    ）

A．最小正周期为π2   的奇函数          

B．最小正周期为π 的奇函数

C．最小正周期为2π 的偶函数         

D．最小正周期为π 的偶函数

2．已知函数f(x)=(sinx-cosx)cosx,x∈R，则关于f(x)下列结论正确的是：

①函数的最小正周期为π；

②图象关于点（π8 ,0）  中心对称；

③图象关于直线x=π8   对称；

④图象关于直线x=3π8   对称；

⑤函数值域为图象关于[−√32 −12 ,√22 +12 ] 

3.已知函数ƒ (x)=sin2ωx+√3sinωxsin(ωx+π2 )(ω>0) ​ 的最小正周期为π

（Ι）求ω的值．（ΙΙ）求函数的值域

从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结。

师：引导学生回忆本节课的知识，本节课重点是降幂公式，要会用降幂公式和辅助角公式对解析式进行化简，使得解析式满足“三个一”的形式，今后学习和差化积和积化和差也是将解析式化为“三个一”的工具，同学们在今后要多加练习。