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内积和外积 本文介绍向量之间的简单运算。 在本文之前,特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因,数学学科和物理学科关于「inner product」和「outer product」两个词汇有着五花八门的翻译。 在物理学科,一般翻译成「标积」和「矢积」,表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上「数量积」和「向量积」也采用了这种意译的办法。 在数学学科,通常也可以翻译成「内积」和「外积」,是两个名词的直译。「点乘」和「叉乘」是根据运算符号得来的俗称,这种俗称也很常见。 在「点乘」运算中,经常省略运算的点符号,在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法,不写点符号。 内积内积的概念 对于任意维数的向量都适用。 已知两个向量 ,它们的夹角为 ,那么: 就是这两个向量的 内积,也叫 点积 或 数量积。其中称 为 在 方向上的投影。内积的几何意义即为:内积 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积。 可以发现,这种运算得到的结果是一个标量,并不属于向量的线性运算。 在不引起混淆的情况下,内积的点号可以省略不写。如果在向量的右上角有上角标 ,表示向量与自身内积的简写,即 向量模长的平方,省略模长记号。该上角标 不可以理解为向量的平方,这是因为,向量内积的结果为标量,不存在除了 以外任何个数的向量的内积。同理,向量模长平方的平方,不可以简写为上角标 ,而是必须将上角标 的结果视为一个整体,以此类推。 内积满足交换律,即: 互相垂直的两个向量的内积,结果为 。向量与零向量内积,结果为 。 内积运算有以下应用: 判定两向量垂直判定两向量共线 数量积的坐标运算 若 则 向量的模两向量的夹角二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式,可以作为行列式的较为简单的情形特殊定义。在微积分的最后一个部分场论部分,格林公式用到了二阶行列式,高斯公式用到了点乘,斯托克斯公式用到了三阶行列式。 二阶行列式可以视为四元函数,其定义为: 三阶行列式可以视为九元函数,其定义为: 一种特殊的记忆方法是采用「对角线法则」,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。 特别注意:四阶行列式展开后共有 24 项,并且副对角线一项的符号为正。如果强行应用三阶行列式的「对角线法则」,不仅项数不够,副对角线一项的符号也不正确,因此三阶行列式的「对角线法则」不适用于更高阶的行列式,更高阶的行列式也不适合使用直接展开法计算。 外积外积是 三维向量特有的运算。 在物理学中,三维向量为默认与空间位置相关的向量,一律采用粗体表示。然而,物理学中与相对论相关的四维向量不会采用粗体,而是使用特殊的记号与下标。 在线性代数中,所有的向量都会用粗体表示,并且由于麻烦,并且线性代数中大多为向量与矩阵的运算,很难造成歧义,在手写时可以省略向量记号不写。 定义向量 的外积为一个向量,记为 ,其模与方向定义如下: ; 与 都垂直,且 符合右手法则。注意到外积的模,联想到三角形面积计算公式 ,可以发现外积的几何意义是: 是以 为邻边的平行四边形的面积。 两个向量 , 外积的结果是一个向量 。记作 。 向量的外积可以使用三阶行列式表示: 其中 表示和坐标轴 平行的单位向量,并写在对应坐标处。展开得 。 对于二维向量,无法计算外积,但是仍然可以计算两向量张成的平行四边形面积: 记 ,将平面直角坐标系扩充为空间直角坐标系,原平面位于新坐标系的 xOy 平面,原本的坐标 和 变为 和 ,那么两个向量的外积为 ,因此平行四边形面积为 ,可以视为二阶行列式运算的结果。此时,根据右手法则和竖坐标符号,可以推断出 相对于 的方向,若在逆时针方向竖坐标为正值,反之为负值,简记为 顺负逆正。 外积满足 反交换律,即: 共线的两个三维向量的外积,结果为 。三维向量与自身外积,结果为 。三维向量与零向量外积,结果为 。 根据上文的两个定义: 可以写出恒等式: 混合积与外积一样,向量的混合积是 三维向量特有的运算。 设 是空间中三个向量,则 称为三个向量 的混合积,记作 或 或 。混合积的绝对值 的几何意义表示以 为棱的平行六面体的体积。 向量的混合积可以使用三阶行列式表示: 向量的混合积可以用来计算四面体的体积: 混合积 的符号是正还是负,取决于 与 形成的夹角是锐角还是钝角,即指向 与 张成平面的同侧还是异侧,这相当于 、、 三个向量依序构成右手系还是左手系。 有定理:三个三维向量 、、 共面的充分必要条件是 。 混合积有性质: 二重外积三维向量的混合积是内积与外积的混搭,具有轮换对称性。三维向量和三维向量的外积还是三维向量,那么外积的外积是否存在相关结论? 先证明一个引理。 证明:由右手定则, 与 和 都垂直,待证等式左端与 垂直,因此待证等式左端与 和 共面。 因此可以假设: 根据混合积的相关结论,上式两端同时对于 和 分别做内积,有: 由前文推出的恒等式: 可以解得: 证毕。 在上文的证明中提到, 与任意向量叉乘,得到的向量与 和 共面。接下来证明 二重外积 的结论: 上述共面性有助于二重外积结论的记忆。可见,上文的引理为二重外积的特殊情况。 证明:这里只需考虑三个向量均为非零且不共线的情况,其他特例为显然的。 三维向量 、 和 不共面,因此可以假设: 所以有: 根据上文的引理有: 因此有: 证毕。 根据外积的反交换性,可以得到二重外积的两个公式: 可见,二重外积对于运算顺序有着严格的要求。 借助混合积与二重外积,还可以证明拉格朗日的恒等式。 证明: 可见,前文的恒等式 是拉格朗日的恒等式的特殊情形。 本页面最近更新:2023/12/17 01:05:16,更新历史发现错误?想一起完善? 在 GitHub 上编辑此页!本页面贡献者:CCXXXI, Great-designer, Nanarikom, Tiphereth-A本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供,附加条款亦可能应用 |
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