线性代数(11)

在标量中存在线性函数，即k个标量和另外 k k k个标量的组合 k 1 ⋅ x 1 + k 2 ⋅ x 2 + … … + k p ⋅ x p k_1\cdot x_1+k_2\cdot x_2+……+k_p\cdot x_p k1​⋅x1​+k2​⋅x2​+……+kp​⋅xp​，标量的线性组合最终得到的依旧是一个标量。

线性组合是针对向量而言的，可以理解为，给定 p p p个维度相同的向量 v 1 ⃗ 、 v 2 ⃗ 、 … … v p ⃗ \vec{v_1}、\vec{v_2}、……\vec{v_p} v1​ ​、v2​ ​、……vp​ ​，同时给定 p p p个标量 k 1 、 k 2 、 … … k p k_1、k_2、……k_p k1​、k2​、……kp​，将这 p p p个标量和 p p p个向量进行组合得到的 k 1 ⋅ v 1 ⃗ + k 2 ⋅ v 2 ⃗ + … … + k p ⋅ v p ⃗ k_1\cdot\vec{v_1}+k_2\cdot\vec{v_2}+……+k_p\cdot\vec{v_p} k1​⋅v1​ ​+k2​⋅v2​ ​+……+kp​⋅vp​ ​ 就被称为这些向量的一个线性组合。向量的线性组合最终得到的同样还是个向量。

线性相关和线性无关是建立在线性组合的基础上的。

对于给定p个维度相同的向量 v 1 ⃗ 、 v 2 ⃗ 、 … … v p ⃗ \vec{v_1}、\vec{v_2}、……\vec{v_p} v1​ ​、v2​ ​、……vp​ ​而言，若存在一组不全为0的标量 k k k使得 k 1 ⋅ v 1 ⃗ + k 2 ⋅ v 2 ⃗ + … … + k p ⋅ v p ⃗ = 0 k_1\cdot\vec{v_1}+k_2\cdot\vec{v_2}+……+k_p\cdot\vec{v_p}=0 k1​⋅v1​ ​+k2​⋅v2​ ​+……+kp​⋅vp​ ​=0，则称这p和向量线性相关。

线性相关也可以更通俗的理解为，其中任意的一个系数不为0的向量都能够使用其他向量表示。

上面的命题是互为充要的，即 如 果 v 1 ⃗ 、 v 2 ⃗ 、 … … v p ⃗ 线 性 相 关 ⇔ 其 中 一 个 项 目 可 以 写 为 其 他 向 量 线 性 组 合 如果\vec{v_1}、\vec{v_2}、……\vec{v_p}线性相关\Leftrightarrow其中一个项目可以写为其他向量线性组合 如果v1​ ​、v2​ ​、……vp​ ​线性相关⇔其中一个项目可以写为其他向量线性组合 具体的证明如下，

对于给定 p p p个维度相同的向量 v 1 ⃗ 、 v 2 ⃗ 、 … … v p ⃗ \vec{v_1}、\vec{v_2}、……\vec{v_p} v1​ ​、v2​ ​、……vp​ ​而言，只有全为0的标量 k k k时使得 k 1 ⋅ v 1 ⃗ + k 2 ⋅ v 2 ⃗ + … + k p ⋅ v p ⃗ = 0 k_1\cdot\vec{v_1}+k_2\cdot\vec{v_2}+…+k_p\cdot\vec{v_p}=0 k1​⋅v1​ ​+k2​⋅v2​ ​+…+kp​⋅vp​ ​=0，则称这 p p p个向量线性无关。此时对应的是 k k k全为0的情况。

也就是说这p个向量任何一个都不能被其他向量的线性组合表示。最简单的例子就是空间中表示坐标轴方向的标准单位向量， 下面给出的是n个标准单位向量线性无关的证明， 证 明 单 位 向 量 e 1 ⃗ , e 2 ⃗ , e 3 ⃗ , . . . , e n ⃗ 线 性 无 关 证明单位向量 \vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3},...,\vec{e_n}线性无关 证明单位向量e1​ ​,e2​ ​,e3​ ​,...,en​ ​线性无关 使用反证法证明，假设线性相关，则次幂在不全为0的一组 k k k，使得 k 1 ⋅ e 1 ⃗ + k 2 ⋅ e 2 ⃗ + … + k n ⋅ v n ⃗ = 0 k_1\cdot\vec{e_1}+k_2\cdot\vec{e_2}+…+k_n\cdot\vec{v_n}=0 k1​⋅e1​ ​+k2​⋅e2​ ​+…+kn​⋅vn​ ​=0。假设 k i ≠ 0 k_i≠0 ki​̸​=0， e i ⃗ = − k 1 k i ⋅ e 1 ⃗ − k 2 k i ⋅ e 2 ⃗ − … … − k n k i ⋅ e n ⃗ \vec{e_i} = -\frac{k_1}{k_i}\cdot\vec{e_1}-\frac{k_2}{k_i}\cdot\vec{e_2}-……-\frac{k_n}{k_i}\cdot\vec{e_n} ei​ ​=−ki​k1​​⋅e1​ ​−ki​k2​​⋅e2​ ​−……−ki​kn​​⋅en​ ​ 则 e i ⃗ = ( − k 1 k i , − k 2 k i , . . . , − k i − 1 k i , 0 , − k i + 1 k i , . . . , − k n k i ) \vec{e_i}=(-\frac{k_1}{k_i},-\frac{k_2}{k_i},...,-\frac{k_{i-1}}{k_i},0,-\frac{k_{i+1}}{k_i},...,-\frac{k_n}{k_i}) ei​ ​=(−ki​k1​​,−ki​k2​​,...,−ki​ki−1​​,0,−ki​ki+1​​,...,−ki​kn​​)。矛盾，即证。

线性相关在之前的小节中可以很简单的理解为， m m m个向量中其中一个向量可以写成其他向量的线性组合。从另一个层面而言，这 m m m个向量中存在冗余的信息。

以二维平面为例进行理解，在二维空间中随意取两个向量 u ⃗ \vec{u} u 和 v ⃗ \vec{v} v ，之后再在平面中随意取一个向量 w ⃗ \vec{w} w 。依据之前的性质，这三个向量一定是线性相关的， u ⃗ \vec{u} u 和 v ⃗ \vec{v} v 的数乘所对应的标量实际上就是线性相关时的系数。对于比较特殊的情况，即 u ⃗ \vec{u} u 和 v ⃗ \vec{v} v 共线，

线性无关意味着每一个向量都是独立的，所有的向量中不存在冗余的信息。比如在二维空间中，任意两个不共线的向量都是线性无关的；同样的三维空间中，三个不共面的向量都是线性无关的。

线性代数中十分重要的概念。

以二维空间为例，任意两个不共线的向量都是线性无关的，此时若添加第三个向量，则这三个向量就会变成线性相关的。上一节中， w ⃗ \vec{w} w 可以被 u ⃗ \vec{u} u 和 v ⃗ \vec{v} v 的线性组合表示。即任何其他向量都可以使用u和v的线型组合表示，此时可以说 u ⃗ \vec{u} u 和 v ⃗ \vec{v} v 生成了整个二维空间。

推广到 n n n维空间中，如果空间中所有向量都能够被表示为 v 1 ⃗ 、 v 2 ⃗ 、 … 、 v n ⃗ \vec{v_1}、\vec{v_2}、…、\vec{v_n} v1​ ​、v2​ ​、…、vn​ ​的线性组合，则称这些向量可以生成这个空间。

实际上 u ⃗ \vec{u} u 、 v ⃗ \vec{v} v 和 w ⃗ \vec{w} w 也可以生成整个二维空间， w ⃗ \vec{w} w 的系数取0即可。此时会引出一个问题，最少需要几个向量生成二维空间？为了解决这个问题可以进行如下推导，

将这一推论拓展到 n n n维空间中，可以得到“对于一个n维空间，至少需要 n n n个向量才能够生成。”，利用反证法进行证明，假设 m m m个向量可以生成 n n n维空间，且 m ; n m;n m