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函数同构 一.基本原理 解决指对混合不等式时,常规的方法计算困难,则将不等式变形为的结构,即为外层函数,其单调性易于探讨.常见变形方式:=1\*GB3①;=2\*GB3②;=3\*GB3③;=4\*GB3④;=5\*GB3⑤. 答题思路; 1.干脆变形: (1)积型:(同左); (同右); (取对数). 说明:取对数是最快捷的,而且同构出的函数,其单调性一看便知. (2)商型:(同左); (同右); (取对数). (3)和差型:(同左); (同右). 2.先凑再变形: 若式子无法干脆进行变形同构,往往须要凑常数、凑参数或凑变量,如两边同乘以,同加上等,再用上述方式变形.常见的有: =1\*GB3①; =2\*GB3②; =3\*GB3③ ④ ⑤ 二.典例分析 例1.(2024全国甲卷) 已知函数. (1)若,求的取值范围; (2)证明:若有两个零点,,则. 解析:(1),令,则,于是 .于是等价于在上恒成立,故. (2)由(1)知要使得有两个零点,则 假设.要证明即证明,又由于在单增,即证明.下面构造函数 由于,又函数在单减,. 时在单调递增,而 得证. 例2.已知函数.(为常数)若,若对随意的,恒成立,求实数的取值范围. 解析:由题意得:; 即:因为,当且仅当时等号成立,构造简洁得:,所以只须要满意. 例3.已知函数,其中. (1)当时,求的最小值; (2)探讨方程根的个数. 解析:(1)的最小值是. (2)由题,,则, 即.所以.由,得.当时,; 当时,;所以,在上递减;在上递增. 又因为,所以,当且仅当或.又,故和不行能同时成立.所以方程根的个数是两函数和的零点个数之和,其中 当时,函数的零点个数转换为直线与函数图象的交点个数,,令,即,解得. 当易知时,,单调递减,当时,,单调递增; 在处取得最小值为,所以时,直线与函数图象无交点,函数无零点;时,直线与函数图象有一个交点,函数有1个零点;时,直线与函数图象有2个交点函数,有2个零点. 同理:函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数, 设,则,所以函数在单调递增,在处的函数值为,所以故时,在上必有1个零点.综上所述,时,方程有1个根;时,方程有2个根;时,方程有3个根. 例3.(2024全国新高考1卷) 已知函数和有相同的最小值. (1)求; (2)证明:存在直线,其与两条曲线和共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 解析:(2)由(1)可得,的最小值在处取到,的最小值在处取到,且最小值均为1.于是,在上增,在上减,则存在,使得 .这样的话,令,且直线与两条曲线和共有三个不同的交点. 另一方面,留意到,考虑函数,则. 设直线与两条曲线和从左到右的三个交点横坐标为.且有.由上述探讨可知:,故①,同理,由②可得:.又因为③ 联立①,②,③可得:,即从左到右的三个交点横坐标成等差数列. 习题演练 1.若,则() A.B.C.D. 答案:C解:A选项:,设 ,设,则有恒成立,所以在单调递增,所以,从而存在,使得,由单调性可推断出: ,所以在不单调,不等式不会恒成立B选项: ,设可知单调递增.所以应当,B错误C选项:,构造函数,,则在恒成立。所以在单调递减,所以成立. D选项:,同样构造,由C选项分析可知D错误. 习题2.已知不等式最小值为() B.C.D. 解析: , 只需考虑其为负数的状况, , 令 故 |
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