为什么同一时间，刚体上各个质点的角速度相等？

这个问题可以从两个不同的途径进行证明。方式一： 刚体变换的定义， 方式二： 特殊正交群。

其中方法一用到的数学工具比较简单，懂得向量内积和叉积即可证明。

先引述刚体变换(Rigid Body Transform)的定义[1]：

定义1：

如果一个 \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3} (三维欧式空间到三维欧式空间的变换） g 是一个刚体变换，则变换g满足：

对于定义的证明见参考文献。

任取刚体上三个点： P_0, P_1, P_2 ,记 u_1 = \overrightarrow{P_0P_1},u_2 = \overrightarrow{P_0P_2} ，在 t 时刻有速度 v_0, v_1, v_2 ，经过 \Delta t 时刻后，三个点各自运动至\begin{cases} P_0' = P_0 + v_0\Delta t \\ P_1' = P_1 + v_1\Delta t \\ P_2' = P_2 + v_2\Delta t \end{cases} \tag{1-1} 。

记u_1' = \overrightarrow{P_0'P_1'},u_2' = \overrightarrow{P_0'P_2'}，记 v_{01} = v_1 - v_0, v_{02} = v_2 - v_0。

根据定义1.1，长度不变性，有：

\|u_1\| = \|u_1'\|, \|u_2\| = \|u_2'\|\tag{1-2}

将公式(1-1)的第二和第三式分别减去第一式，可以得到：

\begin{cases} u_1' = u_1 + v_{01} \Delta t \\ u_2' = u_2 + v_{02} \Delta t \end{cases} \tag{1-3}

联立(1-2)和(1-3)可得：

\begin{cases} \frac{\Delta \theta_1}{\Delta t} \times u_1= v_{01} \\ \frac{\Delta \theta_2}{\Delta t} \times u_2= v_{02} \end{cases} \tag{1-4}

其中 \Delta \theta = \frac{v \Delta t}{u} ，根据角速度的定义，记 \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \omega ，式(1-4)写作：

\begin{cases} \omega_1 \times u_1= v_{01} \\ \omega_2 \times u_2= v_{02} \end{cases} \tag{1-5}

由式(1-5)可知 P_1, P_2 相对与 P_0 点都只有切向速度没有法向速度。

根据定义1.2，叉积不变性，有：

u_1 \times u_2 = u_1' \times u_2' \tag{1-6}

联立(1-3)与(2-6)可得：

0 = u_1 \times v_{02} - u_2 \times v_{01} + v_{01} \times v_{02} \Delta t \tag{1-7}

将(1-5)带入(1-7)并舍去高阶无穷小：

0 = u_1 \times\omega_2 \times u_2 - u_1 \times \omega_1 \times u_2 \tag{1-8}

可得：

\omega_1 = \omega_2 \tag{1-9}

得证。

总结起来就是：

在刚体任意位置取固结在刚体上的坐标系 F_1, F_2 ，记其方位角(orientation)为 R_1, R_2 ，记 R_{21} R_1 = R_2 \tag{2-1}

经过 \Delta t 时刻，两坐标系方位角分别运动了 \Delta R_1, \Delta R_2 ，到达 R_1', R_2' 。根据刚体性质，式(2-1)仍成立：

R_{21} R_1' = R_2' \tag{2-2}

另有：

\begin{cases} \Delta R_1 R_1 = R_1' \\ \Delta R_2 R_2 = R_2' \end{cases} \tag{2-3}

联立(2-1)(2-2)(2-3)可得：

R_{21} \Delta R_1 R_{21}^\top = \Delta R_2 \tag{2-4}

看起来 \Delta R_1 和\Delta R_2相似但是并不相等。其实以 \Delta R_1 为例，其表示 R_1 绕某个旋转轴 \phi_1 旋转 \Delta \alpha_1 后得到 R_1' ，可以看到 \phi_1 是在 F_1 下的单位向量。利用 SO(3) 的指数映射改写(2-4)可以得到：

R_{21} \exp(\Delta \alpha_1 \phi_1^\wedge)R_{21}^\top = \exp(\Delta \alpha_2\phi_2^\wedge) \tag{2-5}

结合SO(3)的伴随性质： R \exp(p^\wedge) R^\top = \exp((Rp)^\wedge) 可得：

\Delta \alpha_1 (R_{21}\phi_1) = \Delta \alpha_2 \phi_2 \tag{2-6}

而根据角速度的定义 \omega = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \alpha \phi}{\Delta t} ，式(2-6)化作：

R_{21}\omega_1 = \omega_2 \tag{2-7}

用上标 \omega_1^{F_2} 表示 坐标系F_1 角速度在 坐标系F_2 下的表示，则有：

\omega_1^{F_2} = \omega_2^{F_2} \tag{2-8}

可见在同一坐标系下，刚体上任意两点的角速度相同。