“无穷小”的争论:一个小小的数学概念竟然震撼了整个数学界?

提到"无穷小"，想必很多人对它的印象还停留在中学时老师教授的概念：以数0为极限的变量，无限接近于0。

或许很多人会心存疑问：这样一个大家再平常不过的概念，又有什么值得特别言说之处呢？事实上，只要稍加了解数学历史，尤其是微积分发展历史，就能知道这个小小概念对于整个近代数学的发展，甚至现代科技的发展有着至关重要的作用。

无穷小是分析学中的重要概念，在十七、十八世纪微积分诞生初期，数学家们对无穷小的观点各持己见：无穷小究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。

微积分的创始人牛顿与莱布尼茨（图片来源于网络）

实际上，早在微积分发明之前，无穷小就已经在欧洲学术界掀起"血雨腥风"，拥有迥然不同的宗教和政治背景的欧洲思想家和学者们，都曾经不知疲倦地围绕"无穷小"这一概念争论不休，甚至做激烈斗争。这场斗争的知名度虽然远不如后来牛顿与莱布尼茨就"微积分之父"的名号之争，但论激烈程度，完全不亚于后者。

"无穷小"的思想实际上最初是在哲学范围内提出的。

公元前6世纪，毕达哥拉斯及其追随者声称"万物皆数"，意思是说，世界上的所有事物都可以用整数或者整数的比值来进行描述。公元前5世纪，阿布德拉的德谟克利特用无穷小计算了圆锥体和圆柱体的体积。接着，埃利亚的芝诺提出了若干悖论，说明无穷小会导致逻辑上的矛盾。

芝诺最着名的悖论之一是"阿喀琉斯追乌龟"。阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的10倍，乌龟在他前面100米开始跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟——因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟。然而，我们凭经验可以得知，阿喀琉斯会追上乌龟，从而导致了一个悖论。

阿喀琉斯永远也追不上乌龟（图片来源于网络）

由于无法解决无穷小导致的悖论，在此后相当长的时间里，数学家们都选择回避无穷小，继而关注几何学清晰的系统化演绎推理，后来，欧几里得几何渐渐成为了数学格式和方法的典范。

直到16世纪，新一代数学家才重新开始研究无穷小的问题。他们不再试图攻克这个古老的悖论，而是直接以此作为基础，继续推导下去，使大量原本难以计算的数学难题得以解决。这一发现震撼了整个数学领域。但是，这种做法遭到了种种阻碍与打压。无穷小的支持者与反对者的对抗，竟然持续了几个世纪，支持无穷小学说的数学家因此受到封杀，甚至软禁，前程受到极大威胁。

着名历史学家和数学家阿米尔·亚历山大在《无穷小：一个危险的数学理论如何塑造了现代世界》一书中，详细阐述了无穷小学说在16—17世纪的欧洲学术界引起的思想大战。在这场大战中，为了发展或者消灭无穷小学说，置身其中的每个人都费尽心力，其中包括众多着名的哲学家与科学家，如伽利略、托里切利、霍布斯等。

值得一提的是，本书并不仅限于讨论无穷小的斗争史，作者显然有更宏大的野心，他将无穷小视为现代科技世界的基石，着眼于当时无穷小大战的两个主战场——意大利与英国。随着无穷小在意大利被彻底消灭，而在英国取得胜利，两个国家走上了全然不同的发展道路。

在意大利，知识创新得不到鼓励，社会流动性几乎不存在，整个意大利几乎处于停滞不前的状态。而在意大利逐渐落后的几年里，英国逐渐成为最有活力、最有远见以及发展最快的欧洲国家。在亚历山大看来，这场关于无穷小的斗争，其影响范围远远超出了数学界，甚至也超出了科学和技术领域——更是一场关乎现代社会的面貌的斗争。