叉乘在图形学中的几何意义

先简单介绍一下叉乘(cross product)：

a → × b → \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} a ×b ，其结果，还是一个向量。 其方向，符合右手螺旋定则（右手手指头从a转向b，看大拇指指向哪里）; 其模，等于 ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ s i n θ |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin\theta ∣a ∣∣b ∣sinθ (其实就是a和b组成的平行四边形面积)

也可以直接用下面的式子表示： a → × b → = ∣ i → j → k → a x a y a z b x b y b z ∣ = ( a y b z − a z b y ) i → + ( a z b x − z x b z ) j → + ( a x b y − a y b x ) k → \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \left | \begin{matrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{matrix} \right | = (a_ybz - a_zb_y)\overrightarrow{i} + (a_zb_x - z_xb_z)\overrightarrow{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\overrightarrow{k} a ×b = ​i ax​bx​​j ​ay​by​​k az​bz​​ ​=(ay​bz−az​by​)i +(az​bx​−zx​bz​)j ​+(ax​by​−ay​bx​)k 其中， i → , j → , k → \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} i ,j ​,k 是3个轴的单位向量。

还可以用矩阵来表示： a → × b → = A b → = [ 0 − a z a y a z 0 − a x − a y a x 0 ] [ b x b y b z ] \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = A \overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} 0 & -a_z & a_y\\ a_z & 0 & -a_x\\ -a_y & a_x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_x\\ b_y\\ b_z \end{bmatrix} a ×b =Ab = ​0az​−ay​​−az​0ax​​ay​−ax​0​ ​ ​bx​by​bz​​ ​

他的重要性质： a → × a → = 0 → \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0} a ×a =0 a → × b → = − b → × a → \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} a ×b =−b ×a a → × ( b → + c → ) = a → × b → + a → × c → \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} a ×(b +c )=a ×b +a ×c

在图形学中，向量的叉乘主要用于计算两个向量所在平面的法向量，以及计算出相机朝向和物体朝向之间的旋转轴，具体应用包括：

计算表面法向量：通过计算两个相邻的三角形的法向量来得到表面法向量，可以用于光照计算和渲染中的纹理映射等。

计算相机朝向和物体朝向之间的旋转轴：在相机跟随和相机旋转等操作中使用。

计算三角形面积：通过向量叉积的模长可以计算三角形面积，可以用于计算多边形的面积和法向量。

计算向量夹角：通过向量叉积的模长和点积的结果可以计算向量之间的夹角，可以用于计算光源和物体的夹角以及阴影的计算等。

判断一个点是否在三角形内

下文针对5，具体讲一下如何使用。

判断一个点，是否在三角形内，有什么用途呢？一个经典的用途是，在光栅化阶段，GPU会去挨个处理每个像素，应该显示什么数据，或者说，显示哪个三角形面的数据。 咱们来最简化的描述这个过程： 假色我们的3D画面非常简单，只有4个顶点，即2个三角形，映射到屏幕上，如下图所示

现在开始扫描每个像素该显示啥。方法就是，判断是否在2个三角形内，如果不在，就显示默认色了，如果在，就采样三角形的对应纹理色值。 所以，现在的问题，就可以归纳为一个函数： isInTringle(Trangle tr)

请看下面一组图，Q点在三角形内，可以看看有什么规律： 向量P1P2与P1Q，右手螺旋定则，朝外； 向量P2P3与P2Q，右手螺旋定则，朝外； 向量P3P1与P3Q，右手螺旋定则，朝外；

再看一组图，Q点在三角形外： 向量P1P2与P1Q，右手螺旋定则，朝内； 向量P2P3与P2Q，右手螺旋定则，朝外； 向量P3P1与P3Q，右手螺旋定则，朝外；

极端情况，如果Q刚好在三角形的边上，例如P1P2的边上，那么，向量P1P2与P1Q为同方向，螺旋定则芭比Q了，找不到z轴方向，即，z值为0。

结论：只要计算三次叉乘，如果z值有一个为0，则在三角形边上； 如果z值正负一致，则在里面；如果z值正负不一致，则在外面

从第一节可知，计算叉乘的 z z z值，很简单，为 ( a x b y − a y b x ) (a_xb_y - a_yb_x) (ax​by​−ay​bx​) 所以，从程序上，可以非常简单的实现了，我们来写个python：