有理数集合是可数集合，无理数集合是不可数集合

2023-07-23 19:21| 来源: 网络整理| 查看: 265

以下介绍的是康托想出的有理数与自然数对应方式，表中的 (p, q) 表示 p/q。 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) … (1, n) … (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) … (2, n) … … … … (m, 1) (m, 2) (m, 3) (m, 4) … (m, n) … 表中 p+q 的值在同一个由右下至左上同一列是相等的，由左上角 (1, 1) 开始，p+q 的值是 2，之后是 (2, 1) 和 (1, 2)，而 p+q 的值是 3，这样一直排下去，(1, 1),(2, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 2),(3, 1),(4, 1),...，就把有理数一个个地排成一列。这样，有理数集是有序集合了（可数集合）。所以，有理数集能与自然数集一一对应，可说成两个集合元素个数相同

要证明无理数集是不可数集，按照下面的步骤就可以证明（可以把前三个看成是引理）：

1先证有理数集是可数集：建立这样一个映射: 对于任意一个有理数m/n(既约)，构造映射 y=(2^n)(3^m)，y是自然数，那么对于不同的m/n，一定有不同的自然数y。所以自然数集的基数不少于有理数集的基数。反过来，自然数是有理数的子集，所以自然数集的基数又不大于有理数集的基数，综上，两集合基数相等，所以有理数集是可数集。

2再证有限个可数集的并集还是可数集。容易找到一种排列顺序，把这可数个可数集的元素按顺序排列起来，这就证明了它的可数性。

3接着证实数集是不可数集，关于这个的证明很多教材上都有，也有不止一种方法，我就不赘述了&#

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