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文章目录
一、解析函数的概念
学习目标
1、复变函数的导数
2、解析函数的概念
二、解析函数的充要条件
学习目标
1、可导充要性
2、解析充要性
三、初等函数
学习目标
1、指数函数
2、对数函数
3、幂函数
4、三角函数
一、解析函数的概念
学习目标
会用求导定义公式求导
函数在一点解析的定义
函数在区域解析的定义
函数可导与解析的关系(一点与区域)
会判别函数的解析性
奇数的定义以及与不可导点的关系
会求函数的奇点
1、复变函数的导数
定义: 设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) 定义与区域 D D D. z 0 z_0 z0 为 D D D 中的一点,点 z 0 + Δ z z_0+\Delta z z0+Δz 不出 D D D 的范围. 如果极限 lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{ \Delta z} Δz→0limΔzf(z0+Δz)−f(z0)存在,那么就说 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0 可导. 这个极限值称为 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0 的导数,记作 f ′ ( z 0 ) = d w d z ∣ z = z 0 = lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z f^{'}(z_0)=\frac{dw}{dz}|_{z=z_0}=\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{ \Delta z} f′(z0)=dzdw∣z=z0=Δz→0limΔzf(z0+Δz)−f(z0) 应当注意:定义中 Δ z → 0 \Delta z\rightarrow 0 Δz→0 的方式是任意的,对任意方向都要存在 2、解析函数的概念在复变函数理论中,重要的不是只在个别点可导的函数,而是所谓解析函数. 定义:如果函数 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0 及 z 0 z_0 z0 的领域内处处可导,那么称 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0 解析. 如果 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内每一点解析,那么称 f ( z ) f(z) f(z) 在 D D D 内解析,或称 f ( z ) f(z) f(z) 是 D D D 内的一个解析函数. 如果 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0 不解析,那么称 z 0 z_0 z0 为 f ( z ) f(z) f(z) 的奇点. 由定义可知,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是,函数在一点处解析和在一点处可导是两个不等价的概念. 就是说,函数在一点处可导,不一定在该点处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高的多. 例题:研究函数 w = 1 z w=\frac{1}{z} w=z1 的解析性 解 解 解: 因为 w w w 在复平面内除点 z = 0 z=0 z=0 外处处可导,且 d w d z = − 1 z 2 \frac{dw}{dz}=-\frac{1}{z^2} dzdw=−z21所以在除 z = 0 z=0 z= |
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