为什么可积不一定可导

今天我给大家分享一下极限存在、连续、有界、可积、可导/可微之间的关系，今天只说明在一元函数内他们之间的关系，后续给大家分享多元函数他们之间的关系。

在说明它们的关系之前，我们先说明极限存在、连续、有界、可积、可导/可微，这五个的定义。

极限存在：设函数f(x)在

的某一区域内有定义，如果存在常数A，对于任意的

＞0，总存在正数

，使得当x满足不等式

，有

，则其极限为A

可导：设函数f(x)在

的某一区域内有定义，若极限

存在，其极限就是该函数的导数

连续：设函数f(x)在

的某一区域内有定义，若

，则函数连续

有界：设函数f(x)在

的某一区域内有定义，如果存在正数M，使得在任意一个定义域中的数

，内有

可积：对任意的

存在

当

时有

,换句话就是说积分和是否无限接近某个常数。

(1)可导一定连续，连续不一定可导。

可导一定连续在这我就不多说明了，在这我主要说明那些不一定，也就是举一些例子，下文也是如此。

例、

处处连续，但在x=0点不可导。(因为极限不存在也就是，左极限不等于右极限)比较简单我就在此不做说明。

(2)连续则极限存在，极限存在不一定连续。

例、

这个函数的定义域是x≠0，所以f(x)在x=0点处是不连续的。

但是这个函数在x=0点处的极限是0。

(3)连续一定可积，可积不一定连续。

例、狄利克雷函数，此函数处处不连续但在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0(且任意区间以及R上甚至任何R的可测子集上(区间不论开闭和是否有限)上的勒贝格积分值为0 )

其实大家看完下面俩个定理也就知道了，

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。(这是定理所以连续一定可积)

定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 (有间断点函数就不连续了 但仍可积)根据定理连续函数一定可积而可积不一定连续。但是具体例子不好举例说明(那天恰好看了关于狄利克雷函数的有关性质)。

(4)连续一定有界，可积一定有界，可导可微等价。

一下为狄利克雷函数的有关性质狄利克雷函数 - 搜狗百科​baike.sogou.com