高等数学笔记（二）多元函数的连续可偏导可微性质的讨论

本文给出二元函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在 P(x0,y0)P(x_0,y_0)P(x0​,y0​) 连续，偏导数存在，各个方向的方向导数存在，可微及一阶偏导数连续，这五个条件之间的充分必要关系与相应的反例和直观理解，方便记忆。

直观上理解，任一方向的方向导数存在只保证了在该方向上作截面截得的的一元函数连续，但二元函数的连续要求任意路径。即 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 虽然在y=kx,k∈Ry=kx,k \in \mathbb{R}y=kx,k∈R ，即 360°360\degree360° 地沿直线趋近于极限点时都连续，但对于一些复杂路径（例如 y=x2,y=xln⁡xy=x^2, y=x \ln xy=x2,y=xlnx 等） 来趋近于极限点，方向导数存在并不能保证其连续。

下面举出一个反例

f(x,y)={xy2x2+y4,x2+y2≠00,x2+y2=0f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{x y^2}{x^2+y^4} &,x^2+y^2 \neq 0\\ 0 &, x^2+y^2 = 0 \end{matrix}\right. f(x,y)=⎩⎪⎨⎪⎧​x2+y4xy2​0​,x2+y2=0,x2+y2=0​

它在 (0,0)(0,0)(0,0) 处不连续，因为

lim⁡(x,y)→(0,0)lim⁡x=ky2xy2x2+y4=lim⁡y→0ky4(ky2)2+y4=kk2+1\lim_{(x,y) \rarr (0,0)} \lim_{x=ky^2} \frac{x y^2}{x^2+y^4}=\lim_{y \rarr 0} \frac{k y^4}{(ky^2)^2+y^4} = \frac{k}{k^2+1} (x,y)→(0,0)lim​x=ky2lim​x2+y4xy2​=y→0lim​(ky2)2+y4ky4​=k2+1k​

/* 此处并非累次极限，只因公式渲染引擎对 \substack 支持不佳，下同 */

但是其沿任意方向 el=(cos⁡θ,sin⁡θ)\bm{e}_l=(\cos \theta,\sin \theta)el​=(cosθ,sinθ) 的导数都存在，

∂f(0,0)∂l=lim⁡t→0f(tcos⁡θ,tsin⁡θ)−f(0,0)t=lim⁡t→0cos⁡θsin⁡2θcos⁡2θ+t2sin⁡4θ=sin⁡2θcos⁡θ(cos⁡θ≠0)\frac{\partial f(0,0)}{\partial \bm{l}}=\lim_{t \rarr 0} \frac{f(t\cos \theta,t\sin \theta)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \rarr 0} \frac{\cos\theta \sin^2\theta}{\cos^2\theta+t^2\sin^4\theta} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} (\cos \theta \neq 0) ∂l∂f(0,0)​=t→0lim​tf(tcosθ,tsinθ)−f(0,0)​=t→0lim​cos2θ+t2sin4θcosθsin2θ​=cosθsin2θ​(cosθ=0)

当 cos⁡θ=0\cos\theta = 0cosθ=0 时，由于 f(tcos⁡θ,tsin⁡θ)−f(0,0)=0f(t\cos \theta,t\sin \theta)-f(0,0)=0f(tcosθ,tsinθ)−f(0,0)=0，故方向导数为 000。

全微分要求邻域 U(x0,y0)U(x_0,y_0)U(x0​,y0​) 内的任意一点 (x0+Δx,y0+Δy)(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)(x0​+Δx,y0​+Δy) 都能使得

Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)=a1Δx+a2Δy+ο(ρ)\Delta z = f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) = a_1 \Delta x+a_2 \Delta y +\omicron(\rho) Δz=f(x0​+Δx,y0​+Δy)−f(x0​,y0​)=a1​Δx+a2​Δy+ο(ρ)

注意到 Δx,Δy\Delta x,\Delta yΔx,Δy 的选取是任意的，也就是说，增量也可按照 Δy=φ(Δx)\Delta y = \varphi(\Delta x)Δy=φ(Δx) 任意方式趋近于 000 。而各个方向导数存在，仍然仅能保证以直线方式趋近于 (x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​) 时极限 lim⁡ρ→0Δz−dzρ=0\lim_{\rho \rarr 0} \frac{\Delta z-\mathrm{d}z}{\rho}=0limρ→0​ρΔz−dz​=0 ，此时 dz=∂f∂ldρl\mathrm{d}z=\frac{\partial f}{\partial \bm{l}}\mathrm{d}\rho_ldz=∂l∂f​dρl​ 。

下面举出一个反例[1]

f(x,y)={2xy3x2+y4,x2+y2≠00,x2+y2=0f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{2x y^3}{x^2+y^4} &,x^2+y^2 \neq 0\\ 0 &, x^2+y^2 = 0 \end{matrix}\right. f(x,y)=⎩⎪⎨⎪⎧​x2+y42xy3​0​,x2+y2=0,x2+y2=0​

它在 (0,0)(0,0)(0,0) 处连续，因为

∣2xy3x2+y4−0∣=∣2xy2x2+y4∣∣y∣≤∣y∣