【概率论】离散型随机变量分布

先简单复习下之前的内容，离散型随机变量指的是随机变量X的取值是有限的（或无穷可列的）。详细的解释可以参照这篇博文：https://blog.csdn.net/dengfangmei1216/article/details/107526615

随机变量的学习结构如下，大家可以参考，现在我们来看离散型随机变量的几大重要分布都有哪些。

0-1分布很简单，就是字面意思，即随机变量X的取值只有两个，0和1，表示每次试验的结果只有2种，非A即B。

比如像我们常说的抛一次硬币的结果，看用户是否使用某优惠券等，都是服从0-1分布的；其实，在我们的生活中任何一个只有两种结果的随机现象都服从0-1分布，记做X~B（1，p），它表示只进行一次试验，事件A发生的概率为p，不发生的概率为1-p。

二项分布实际就是将上述的伯努利试验独立重复的进行n次，发生事件A的次数是服从二项分布的，记做X~B（n，p），其概率分布为: 其含义为做n次伯努利试验，有k次发生事件A且有n-k次不发生事件A的概率。

几何分布实际上和“几何”没有任何关系，据说是很久很久以前大家叫错了名字，错把这种分布叫成了几何分布，但后来懒得改了，就还是叫这个名字了。

几何分布仍然是基于伯努利试验，但这次不是进行1次，也不是进行固定的n次，而是可以进行无穷次，那什么时候停止呢？几何分布试验结束的条件是：“首中即停止”，即一旦事件A发生则停止试验；比如：我们投篮，如果投中，则试验停止；如果一直投不中，则一直投一直投，投到天荒地老，直到投进我们的试验才算结束。还比如我们日常生活中，求灯泡坏掉的概率，其实也都是几何分布。

几何分布的概率分布为： 它的含义是：进行n次伯努利试验（n次可以是无穷大），试验k次才得到第一次成功的机率；即前k-1次事件A都不发生，第k次发生的概率。

接下来就是离散型随机变量里的重中之重——“泊松分布”，之所以说它很重要，是因为它和我们的生活密切相关。

泊松分布是用于描述某场合某单位时间内，源源不断的质点来流的个数，比如：某大型超市晚上8-9点，源源不断进入商场的顾客数是服从泊松分布的。还比如某段时间内网站的访问人数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等都是服从泊松分布的。 泊松分布的概率分布为： 其中λ表示强度，即源源不断来流的质子的平均速率（密度）。相当于上述例子中商场里平均每分钟来的人数。

再举个例子，假设一本书每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，平均每页出现错误的个数是2个，求一页书中出现4个错误的概率。在这个例子中λ=2，k=4，e=2.72，带入即可。泊松的期望和方差都是λ。

- 泊松分布与二项分布的关系

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程可参考别的资料。