怎么区分偏导数，全导数和全微分？

2022年9月11日更新，当初写这个答案的时候还在大一，现在已经是大四了。这是我本人浏览量和点赞量最高的一条回答，我其实没有想到。考研期间又把这块复习了一遍，有了一些可能更为准确的理解。本人非数学专业，所回答为基于自己理解，有错误欢迎指正。本回答倾向于初学者更好理解和做题。

一、偏导数

不妨从一元函数的导数延伸到多元函数，多元函数可以理解为多个一元函数的叠加，函数的本质在于刻画自变量对因变量的影响，所以多元函数其实就是，多个自变量去影响一个因变量，或者是，一个因变量受多个自变量影响。而为了探究单个自变量对因变量的影响，可以把聚焦点汇聚在单个自变量上。那么偏导数，其实也就是在刻画这一单个的自变量对整体的影响罢了。所以，你可以理解为，偏向于对某一个自变量进行求导，而与此同时，其他的自变量全视为常数，抑制干扰影响。

补充：求复合函数和隐函数的求偏导（今天有点事，先放着，日后补充）

二、全导数

其实在大学高数，甚至考研里面是不太会出现全导数这一概念的，之前大一没听过，就从百度查的。但现在回过头看。其实全导数就相当于偏导数的累加，全导数刻画的是所有的自变量对因变量影响的总和。所以，全导数=全部偏导数累加。

三、偏微分

题主只问了三个概念，为了方便更多初学者理解。我补充了几个概念。

偏微分和偏导数其实很像，大家知道在一元函数里面的，可微的判定等同于可导的。而对于多元函数的偏微分而言，也是一样的。（特别注意，只是偏微分是一样的，多元函数的可微和可导的判定不是等价的）所以偏微分=偏向对某个自变量求微分。

四、全微分

类比全导数，全微分=全部偏微分累加，也就有dz=xdx+ydy+....

五、多元函数的连续

其实，可能对初学多元函数的同学而言，容易混淆和难搞的是多元函数连续，一阶偏导数存在，可微，一阶偏导数连续，这样的概念选择题，所以我补充一些。

多元函数的连续，终究逃不开连续二字，而连续的判定的定义简言之就是极限值等于函数值。多元函数连续的判定可以归结为：判定该点极限值等于该点函数值。

六、一阶偏导数存在

有了上面偏导数的定义和概念作为铺垫，我相信一阶偏导数存在这个概念就清晰多了，一阶偏导数存在=一阶+偏导数+存在，也就是，对某一自变量求一次偏导，看这个偏导在该点是否存在，而该点存在性的判断归结为一元函数导数存在性的判断。

补充：一元函数导数存在性定义：即极限 \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} 是否存在

七、一阶偏导数连续

与一阶偏导数存在类似，一阶偏导数连续=一阶+偏导数+连续。也就是对某一自变量求一次偏导，偏导后的函数式是否为连续函数。

八、可微

多元函数的可微性判定其实比一元函数的可微性判定复杂多了。

对于初学者不做过多的赘述了，这里给大家提供一个证明可微的流程

1.先看该点的偏导数是否存在，任一不存在则不可微，若都存在，则执行2

2.判断 \lim_{△x \to 0，△y\to 0}\frac{\left[f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)\right]-\left[f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \Delta x+f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \Delta y\right]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} 是否为0，若为0则可微，否则不可微。

有什么问题评论区或私信见

附两张很重要的关系图

2020年8月回答

不那么严谨的来说。偏导数就是对一个未知量求导，比如u(x,y)那么不管是对x还是对y求导都叫偏导数，你可以理解为，偏向对一个单独的未知量求导。全导数呢，主要用在多元复合函数上面，设z是u、v的二元函数z=f(u,v)，u、v是x的一元函数u=u(x)、v=v(x)，z通过中间变量u、v构成自变量x的复合函数。这种两个中间变量、一个自变量的多元复合函数是一元函数，其导数称为全导数

对于全导数 我认为就是把关系中对所求的未知数的导数都表达出来

比如说u，v包含了关于x的 就是把他们都求导出来

你可以看看这个 我觉得讲的真好

【高等数学】多元复合函数求导的基本方法 - 张敬信的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/61585348

至于全微分，以不太严谨但是方便大家理解记忆的我的说法就是对式子中所有的未知量求微分，

你可以把这个理解为对各自未知量的求微分的总和。

我还是个初学者 这是我的个人理解。若有更为精准通俗的解释，小生愿洗耳恭听。