最清楚的

本文尽量避免数学公式，使用文字解释列生成算法的原理，争取让读者能形成直观上的理解。

列生成算法可以从两个视角来理解：对偶角度和单纯形算法角度。

啥是对偶

这里简单过一下对偶的概念。

假设有个长得很标准的线性规划问题：

那么，它的对偶问题为：

下面我们都以这个问题来讨论，即说到原问题时，默认是一个最小化问题；说到对偶问题时，默认是一个最大化问题。

怎么理解这个对偶关系呢？借用经济学方面的话来说，假设原问题的目标是让成本最小，那么对偶就是让收入最大。更确切地讲，是：

那个丶纯粹是为了对齐，忽略之……

可以看到，原问题和对偶问题其实就是一个问题：目标净收益最大。只是一个是约束收入优化成本，一个是约束成本优化收入。角度不同而已。体现在公式上，就是原问题的变量对应对偶问题的约束，目标系数对应约束边界，约束矩阵倒转过来。

另外，关于对偶，一个比较重要的特性是：原问题的最优值与对偶问题的最优值相等。

从对偶角度看列生成算法

列生成算法主要用途在于求解变量多，但是大部分变量将会取值为0的线性规划问题。总体思路是先忽略大部分变量，构造一个只使用小部分变量的模型（其余变量相当于值为0），这样就能很快求出一个解。然后寻找模型外的变量，找到能够让目标值更优的变量，加入模型再次求解。重复这个过程直至找不到更好的变量。

这个过程的关键问题在于，怎么评估模型外的变量是否能让目标值更优。

我们从对偶的角度来研究这个问题。

原问题的变量对应对偶问题的约束。所以原问题新增变量，相当于对偶问题新增约束。

原问题新增变量 -> 对偶问题新增约束

由于对偶问题是个最大化问题，所以对偶问题新增约束后，显然最优值不变或变差，也就是不变或变小。从常理上看，约束越多，最优值越差嘛。

而前面提到的，原问题的最优值等于对偶问题的最优值。也就是说，如果对偶问题最优值不变，那么原问题最优值也不变；如果对偶问题最优值变小，那么原问题最优值也变小。而我们需要的正是让原问题的最优值变小。

所以问题变为如何尽量避免新增的约束没有改变最优值。设想一下，当加入新约束时，如果当前对偶的最优解没有违反新的约束，那么这个解仍然会是新增约束后的对偶问题的最优解，最优值将不变。

因此，我们要找的新增的约束，要和当前最优解冲突。

整条逻辑链为：

新增变量后原问题最优解变小 -> 新增约束后对偶问题最优解变小 -> 新增约束前的最优解不在新增约束后的可行域 -> 新增约束前的最优解不满足新增的约束

一行对偶问题的约束的公式为：

假设最优解为w*，那么违反约束的条件为：

变换一下，变成：

左侧的式子，叫做的reduced cost，也叫做检验数。

通过分析，我们知道，只要加入reduced cost小于0的对偶约束（从而加入了原问题对应的变量）即可。

很自然的想法是，我们更倾向于找到reduced cost最小的一个或几个变量加入，也就是最好能找到最小化reduced cost的新约束：

这里就出现了一个新的最优化问题。这个问题叫做列生成的子问题（sub problem）。其中w*是已知的，未知量是c和a。c和a是和问题的应用场景有关的，需要根据实际场景来构造c和a的约束条件。所以子问题无法通用地求解，只能根据具体问题选择不同的方法求解。

当所有未加入模型的变量的reduced cost都大于等于0时，目标值无法再优化，说明我们已得到最优解。

另外，熟悉对偶问题经济学含义的同学会知道，reduced cost是指产品的差额成本。那么显然要新增的是差额成本为负的产品了。这是另一种理解列生成的思路。

对偶角度给出了一个偏感性的方式来理解列生成算法。换个视角，从单纯形算法角度上看，则是单纯形算法本身，为了更高效地求解包含大量变量的问题，自然地扩展为列生成算法。

相信有不少人被单纯形算法虐得有心理阴影——公式复杂，手工计算量也巨大……

其实，如果我们先不看细节，单纯形的核心原理并没有那么难以理解。下面讲解时不会很严谨，理解算法框架就够了。严谨的过程请参阅运筹学相关书籍。

单纯形算法

众所周知，单纯形算法有一个几何上的解释：

整个过程就像水沿着一条蜿蜒的沟渠流下，最终汇聚到最低点一样。

问题是，这里面的几何概念和代数公式怎么对应？

这里用不严谨（但更容易理解）的语言说明一下：

这里涉及到通过让约束取等号来求边界的操作，而不等式乱糟糟地混在方程型的约束和变量非负约束里，会使这里的分析比较困难。所以使用单纯形算法之前，都会通过引入松弛变量、剩余变量和人工变量等方法（这一步在这里不重要，不详细展开了），将线性规划转换成如下标准形式：

标准形式中只有变量非负约束包含不等式，其他约束都是等式。这样我们就可以很容易地做边界相关的计算了。假设变量数量为n，等式约束数量为m。通过转换而来的标准形式都会有n > m。那么，我们知道，只要让n-m个变量等于0，剩下的m个变量就可以通过这m个等式联立方程组（约束边界方程组）求出一个解（简单起见，不考虑无解，无数解这些边缘条件）。这个解就是一个顶点。

这里约束边界方程组中的m个变量叫作基变量，固定值为0的n-m个变量叫作非基变量。

沿着边找相邻顶点，就是取一个被固定为0的非负约束，也就是一个非基变量（这个操作叫入基），替换掉一个基变量（这个操作叫出基，这个变量出基后就固定值为0），然后重新求解一个顶点。

入基操作需要选择入基变量，选择的依据是这个变量在目标函数中的下降速度，也就是这个变量增加1时，目标值减少多少。经过推导可知，下降速度的计算公式刚好是检验数（reduced cost）。这里就和对偶的视角联系起来了。

出基操作这里就不细说了，大致的思路是在约束条件下，旧的基变量有一部分会随着入基变量的增长而下降，其中最先下降到0的旧的基变量就会被选为出基变量。

整个单纯形算法的计算步骤是：

从单纯形算法角度看列生成算法

在单纯形的步骤2，需要计算所有非基变量的RC。找到最小的那个。当变量个数很多的时候，这一步就成为了算法运行时间瓶颈。

在一些情况下，通过巧妙构造问题，可以让这一步不需要遍历所有变量。甚至我们都不需要知道有多少变量，只要能在每次迭代的时候生成一个或者多个变量，提升优化效果就可以了。

由于不需要遍历所有变量，所以一开始就不需要使用所有变量，只需要使用一组能产生初始解的初始变量构成线性优化问题即可。这种只使用部分变量的模型被称为原问题的restricted master problem（RMP）。

每次迭代时，生成一个或多个让reduced cost最小的变量加入RMP。这个生成步骤就是求解子问题。不断加入新变量直到没有小于0的reduced cost的变量时就达到最优解。

到这里就和对偶角度分析的结果一致了。

下面是单纯形算法与列生成算法简要流程图的对比，可以看到，两者的结构是一样的。

一般来说，我们不会手搓单纯形算法，所以正常都是直接调用单纯形算法库解RMP，然后做列生成，再跑RMP，直到达到最优。

这是一个列生成算法的经典例子。

原纸卷每个长17m，顾客们分别需要25个3m长，20个5m长，18个7m长的纸卷。 问：如何切割使消耗的原纸卷数量最少？

令一个原纸卷的切割方案集合为：

P = {(a, b, c) | 3a + 5b + 7c