三角与反三角函数小结

反三角函数对我来说一直是一个隔一段时间就得重新记一遍的知识点，所以写一篇博客方便复习。

应该说不止反三角，三角函数我也是隔一段时间就开始记忆模糊，更别说再叠个反函数buff了……马什么梅？

显然我们熟知的是位于非阴影部分的sinx，cosx，tanx，也就是正弦，余弦和正切。观察图表，我们发现余x就是在正x前面加上一个co（余割是为了区分余弦所以只加了c）。这样我们只需要记忆正弦正切正割就好了！

上文说余x就是在正x前面加上一个co，那余x和正x的函数之间是否也存在着某种神秘的联系呢？答案是——

no，它们之间毛线关系都没有。

很违反直觉的是，尽管一个三角形三条边，两两组合3!一共得6种组合，即6个三角函数，那么必然会存在互为倒数的三角函数——但正弦和余弦之间并不是互为倒数，而是正弦与余割。同时正切和余切又互倒，所以这好像没什么规律。

这从名字上看真的不好记忆，所以只能多背，或者靠下面的一个记忆利器：六边形记忆法。

1.左正/右余

2.上弦/中切/下割

3.对角线互为倒数（倒数关系）

   sinx = 

   cosx = 

   tanx = 

4.阴影三角形顶点满足平方和（平方和关系）

   sin²x ＋cos²x = 1

   tan²x + 1 = sec²x

   cot²x + 1 = csc²x

5.顶点=相邻点之积（商数关系）

在大学里，反函数一般认为和原函数是同一个图像，同一个函数，只是表现形式不同，也就是情况①；但是反三角函数明显不是和原函数同一个图像，属于情况②。（①和②都可以认为是反函数）

反三角函数特别需要注意的一个点是：定义域D和值域R的选取。还记得存在反函数的前提条件吗？x和y满足一对一的原函数才有反函数（不然取反后不构成函数）！而所有的三角函数在其定义域上都是不满足一对一的，所以我们这里的反三角函数是取三角函数满足条件的区间构造出的特殊反函数！

这里举常用的四个反三角函数为例：

以arcsinx为例，如果遇到复合函数的题目，超出arcsinx的值域的部分就要通过平移变换来取反。

性质结论要背熟，有两种理解方式：①画sinx，cosx图像理解②计算得该式导数为0，再带入一点求出定值。

性质总结：

记忆tip：

①左边正x的导数都是正的，右边余x的导数都是负的

②反三角的正余弦导数是相反数，也印证了上文的性质（和为定值）