浅谈弹性与碰撞：从小球的反弹看碰撞的奥秘

浅谈弹性与碰撞：从小球的反弹看碰撞的奥秘

前一阵子我们学牛顿定律相关知识的时候，经常遇到小球从某一高度下落做自由落体运动，掉到地面上，然后反弹的情景题。有些题的设定是完全弹性碰撞，小球反弹后将回到原来的高度。而实际情况是小球弹起后高度发生了衰减。一般来说，不同的小球和不同的地面发生碰撞，弹起的高度和次数一般不同，高度衰减的程度也是不一样的，但我相信这种衰减必然存在着相似的规律，即可以通过合理的建模，来预测某种材质的小球在第x次与某种材质的地板碰撞后弹起的高度h。

这让我想到，一年前，我曾在家中做过非常类似的实验——用家中不同的小球（乒乓球，弹性球，玻璃球等等）和不同质地的地板（木板，瓷砖，地毯等）进行自由落实验，并得到了大量数据。当时在几次失败的建模尝试后，最终我得到了较好符合实验数据的模型，经过理论分析也是正确的。可以说这既是一次成功的物理探究，也是我第一次进行数学建模的尝试。

下面是复现实验和建模的过程，并分析其背后的原因。

去年年末由于疫情待在家中，实验条件非常简陋，唯一的测量仪器是手机相机和尺子。由于小球会在水平方向上受到随机扰动而产生不小的位移，小球总会跑到画面外面，想要通过手机录像和尺子配合记录小球每次弹起的准确高度h是不太可能的。于是我决定做一下改动，探究小球弹起的时间t与已经碰撞的次数x（以下称弹跳序数）的关系，这样就可以不用尺子，将手机摄像头一直对准小球。如果探究出t-x关系，通过位移-时间公式，高度h与x的关系也将是明了的。

然而，查看手机录像发现，所测的时间的精度还是差了一些，于是我用慢动作录像（事先测量了慢动作视频时间流逝的速度和现实时间之比）反推出真实的时间，测量精度一下就上来了。（当然由于掐表掐的不准，还是由一点点误差）。在不同的时间我做了多组实验，这是第一次实验记录。

在得到这些实验的数据后，我进行了三次建模。

可以想到，在实验得到的直接数据中，所测得的时间并不是第x次和下一次两次落地的时间差，而是小球第x次落地与第一次落地的时间差。第一个模型直接将这个时间作为t。第一个实验（橡胶小球从1.5m高度落向瓷砖）图像如上图所示。由于存在高度衰减，t与序数x的关系并不是线性的，而是这样向上凸的。

也许是被直观的印象冲昏了头脑，我不假思索的认为，上面的图像就是对数函数没错，直接进行拟合。巧合的是，对于这次实验，ln函数竟然拟合的很好（如下图1所示），然后我更加坚信这是对数函数，并直接得到结论：

小球第x次与第一次落地的时间差t与x的关系是t=k×lnx+b

k和b是只由小球、地板材质直接确定的系数。对于第一次实验，k=1.6837、b=0.6318。

如果这个结论是对的（k和b是只由材质确定的系数），那么如果第二次实验只更改了下落的高度，所测的k和b应当和上面的值相同。然而下面第二次实验（下落高度改成1m）（下图2）拟合的结果显示：k= 1.4673，b= 0.462。这显然与上面的结果有很大的不同。如果认为这是误差的话，第三次实验（h=2m）的结果k=1.898，b=0.6809又如何解释？

如果按我现在的想法，这k和b的不同直接就可以宣判这个模型的死刑，可以研究更好的模型了。可我当时还不死心，也许是因为ln函数对每个图象单独都契合的特别好，只是每次实验的系数k、b都不一样罢了。我偶然注意到k和b似乎隐约与高度h存在线性关系，如果设k=oh+p,b=qh+r，并反解出o、p、q、r四个参数的话，这个模型还有成立的可能。

通过尝试，我得到以下拟合数据：

这样，就由确定的材料（瓷砖，小球）确定了四个参数o、p、q、r，进而可以得到与每个下落高度对应的k和b，然后就有t=klnx+b，且契合度很高。

终于，当这个模型“大功告成”的时候我才意识到不对，两个物体怎么会有四个参数！而且结论是这个鬼样子：

小球第x次与第一次落地的时间差t与x的关系是t=k×lnx+b

k和b是由o、p、q、r四个参数确定的系数，o、p、q、r由两个材料确定，它们的物理意义不明

四个参数构成了这么复杂的模型，每个参数的物理意义不知道，他们体现不出来材质的任何性质。最要命的是，凭什么最后的函数结果就是ln，其原因是什么，仅仅是因为图像长得像？

种种疑问浮现。这时候我想到，其实ln是个连续的函数，而我得到的实验数据本质是是离散的，是数列，ln即使拟合的再好，由于性质的不同，图像也根本不可能是ln。因此我决定废弃这第一个模型，不仅是因为不合理的ln函数，它缺失也确实物理的简洁美。

第二个模型中，我假设总时间t的平方和序数x、下落高度h成正比，则可以写成t=p√hx，p是材质确定的参数。虽然更加简洁，但这样误差较大，且无法给出完全弹性碰撞的p值（此时t与x直接成正比了，不符合t=p√hx，找不到p是自然的），因此也被抛弃了。

下面来重点叙述第三个模型。

此时我意识到，若把小球第x次与第一次落地的时间差当成t来研究会遇到很大的困难，因此改用某次弹起与下次弹起的时间间隔作为t，这样，每一次反弹的序数x对应了不同的t，因此t是x的函数，记作t(x)。（由于x是正整数，t也是一个数列。）

那么，经过简单的作差，第一次实验的图像将被改写成这样：

（弯弯曲曲的折线是我掐表不准造成的）

为了解释曲线，我假设每次碰撞弹跳高度缩短的比率是恒定的，即小球每次弹起的高度h(x+1)与h(x)的之比恒为q（0