反常积分计算法总结

1. 反常积分的知识点总结(数学分析,反常积分)

我假设你问的是xsin(x^4) 而不是 xsin(x)^4。下面的证明需要你知道一些基本的复分析知识，我会掺夹一些英文名词（我不太知道对应的中文），望见谅。

提示：首先注意到

联想到

同时我们有

（这个留给你证明）。

根据上式我们换元得

我们扩张上式到复平面，下面假设 c 是复数，欲证

注意到上式左边holomorphic 在 Re(c) > 0（右边复平面）（也因此analytic）。上式右边取branch满足 analytic on Re(c) > 0. 根据identity theorem， 此时左右处处相等，得证上式。

取 c = -i， 我们得

因此

根据第一个不等式，得证收敛

常用的反常积分公式是I^2={(0，∝)∫[e^(x^2)]dx}*{(0，∝)∫[e^(y^2)]dy。

反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。

但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。

这种推广的积分，由于它异于通常的定积分，故称之为广义积分，也称之为反常积分。

反常积分

在一些实际问题中，常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于一般意义上的定积分了，因此对定积分进行推广，从而形成了反常积分的概念。

注意：由于有限区间上的无界函数的广义积分常常会与常义积分混淆，因此求积分时，首先应判断积分区间上有无瑕点.有瑕点的，是广义积分；无瑕点的，是常义积分.若是广义积分，还要保证积分区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点.若不然，要将积分区间分段，使每一段区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点.

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