第20章 反常积分：基本概念

如果函数f(x)f(x)接近于 x=c x = c 时是无界的，就称该函数在 x=c x = c 点有一个破裂点。

如果仅仅在 x x 接近于aa的时候该函数 f(x) f ( x ) 是无界的，则定义：

一个反常积分在有界区间的收敛和发散，仅仅由它的被积函数在非常接近破裂点时的走势决定。

定义：

一个反常积分在无界区间的收敛和发散，仅仅由它的被积函数在自变量接近于无穷大时的走势决定。

用一个函数的反常积分的结果，判别另一个函数的反常积分。

基本思想：假设两个函数在破裂点附近的表现非常接近（再没有其它破裂点），那么，两个函数在破裂点上区间的反常积分同时收敛或发散。

定义：当 x−>a x − > a 时， f(x) g(x) f ( x )   g ( x ) 同 limx−>af(x)g(x)=1 lim x − > a f ( x ) g ( x ) = 1 有同样的意义。即当 x−>a x − > a 时，两个函数渐进等价。

极限比较判别法可以转化为比较判别法。

p判别法实质上是比较判别法和极限比较判别法的一个特例：找一个常见的简单函数形式 1xp 1 x p ,根据p的值，判定 x x 的幂在破裂点区间上反常积分的收敛或发散性。

类似于夹逼定理，函数的绝对值在积分区间收敛，相当于极限的上界和下界收敛。

证明技巧：设g(x)=|f(x)|+f(x)g(x)=|f(x)|+f(x),可知，但 f(x)0 f ( x ) > 0 时， g(x)=2f(x) g ( x ) = 2 f ( x ) 。因此： 0≤∫bag(x)dx≤2∫ba|f(x)|dx 0 ≤ ∫ a b g ( x ) d x ≤ 2 ∫ a b | f ( x ) | d x 。由比较判别法，可知，如果 f(x) f ( x ) 绝对收敛，则 g(x) g ( x ) 绝对收敛。

由于 f(x)=g(x)−|f(x)| f ( x ) = g ( x ) − | f ( x ) | ,有 ∫baf(x)dx=∫bag(x)dx−∫ba|f(x)|dx ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b g ( x ) d x − ∫ a b | f ( x ) | d x ，当等式右侧两项收敛时，左侧也收敛。