高等数学笔记：反常积分敛散性判别法

(1) 无穷限广义积分的比较判别法（保序性） 若 函 数   f ( x )   与   g ( x )   在   [ a , + ∞ ]   上 非 负 可 积   ,   a > 0   ,   且 有   f ( x ) ⩽ g ( x )   ,   则 有 ∫ a + ∞ g ( x ) d x  收敛 ⇒ ∫ a + ∞ f ( x ) d x  收敛. ∫ a + ∞ f ( x ) d x  发散 ⇒ ∫ a + ∞ g ( x ) d x  发散. \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ 且有 \ f(x)\leqslant g(x) \ , \ 则有\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛.} \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散.} \end{aligned} ​若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞​g(x)dx 收敛⇒∫a+∞​f(x)dx 收敛.∫a+∞​f(x)dx 发散⇒∫a+∞​g(x)dx 发散.​ (2) 瑕积分的比较判别法（保序性） 若 函 数   f ( x )   与   g ( x )   在   [ a , + ∞ ]   上 非 负 可 积   ,   a > 0   ,   且 有   f ( x ) ⩽ g ( x )   ,   则 有 ∫ a + ∞ g ( x ) d x  收敛 ⇒ ∫ a + ∞ f ( x ) d x  收敛. ∫ a + ∞ f ( x ) d x  发散 ⇒ ∫ a + ∞ g ( x ) d x  发散. \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ 且有 \ f(x)\leqslant g(x) \ , \ 则有\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛.} \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散.} \end{aligned} ​若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞​g(x)dx 收敛⇒∫a+∞​f(x)dx 收敛.∫a+∞​f(x)dx 发散⇒∫a+∞​g(x)dx 发散.​

(1) 无穷限广义积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式） 若 函 数   f ( x )   与   g ( x )   在   [ a , + ∞ ]   上 非 负 可 积   ,   a > 0   ,   g ( x ) ≠ 0   ,   且 有 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) g ( x ) = l   ,   则 有      当  0 < l < + ∞  时， ∫ a + ∞ f ( x ) d x  与 ∫ a + ∞ g ( x ) d x  同敛散。      当  l = 0  时， ∫ a + ∞ g ( x ) d x  收敛 ⇒ ∫ a + ∞ f ( x ) d x  收敛。      当  l = + ∞  时， ∫ a + ∞ g ( x ) d x  发散 ⇒ ∫ a + ∞ f ( x ) d x  发散。 若 函 数   f ( x )   与   g ( x )   在   [ a , + ∞ ]   上 非 负 可 积   ,   且 有 x → + ∞   ,   f ( x ) ∼ g ( x )   ,      则 有 ∫ a + ∞ f ( x ) d x  与 ∫ a + ∞ g ( x ) d x  同敛散。 \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0