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内容来自百度百科知识以及东方耀老师笔记内容的整合 1、反函数 1.1 定义一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。 一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f(y)或者y=f﹣¹(x)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。注意:上标”−1”指的并不是幂。 1.2 反函数的性质(1)函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称; (2)函数存在反函数的[充要条件]是,函数的[定义域]与[值域]是[一一映射; (3)一个函数与它的反函数在相应[区间]上[单调性]一致; (4)大部分[偶函数]不存在反函数(当函数y=f(x), 定义域是{0} 且 f(x)=C (其中C是常数),则函数f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C},值域为{0} )。[奇函数]不一定存在反函数,被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个[奇函数]存在反函数,则它的反函数也是奇函数。 (5)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性; (6)严增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数; (7)反函数是相互的且具有唯一性; (8)[定义域]、[值域]相反对应法则互逆(三反); (9)反函数的[导数]关系:如果x=f(y)在开区间I上严格单调,可导,且f’(y)≠0,那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导,且: (10)y=x的反函数是它本身 1.3 画图直观理解基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数。 2.1 幂函数 2.1.1 定义一般地.形如y=xα(α为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1(注:y=x-1=1/x y=x0时x≠0)等都是幂函数。 幂函数的图象一定在第一象限内,一定不在第四象限,至于是否在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 正值性质当α>0时,幂函数y=xα有下列性质: a、图像都经过点(1,1)(0,0); b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数; c、在第一象限内,α>1时,导数值逐渐增大;α=1时,导数为常数;00,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。 其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),即x>0。它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。 2.3.2 图像理解正弦函数:y=sin x 对称轴:x=kπ+π/2(k∈Z) 对称中心:(kπ,0)(k∈Z) 余弦函数:y=cos x 对称轴:x=kπ(k∈Z) 对称中心:kπ+π/2,0)(k∈Z) 正切函数:y=tan x 对称轴:无 对称中心:(kπ/2+π/2,0)(k∈Z) 余切函数:y=cot x 对称轴:无 对称中心:(kπ/2,0)(k∈Z) 正割函数:y=sec x 对称轴:x=kπ(k∈Z) 对称中心:(kπ+π/2,0)(k∈Z) 余割函数:y=csc x 对称轴:x=kπ+π/2(k∈Z) 对称中心:(kπ,0)(k∈Z) 反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x,反余弦arccos x,反正切arctan x,反余切arccot x,反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称,各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ,反正割,反余割为x的角。 它并不能狭义的理解为三角函数的反函数,是个多值函数。三角函数的反函数不是单值函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。欧拉提出反三角函数的概念,并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。 2.5.2 分类为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2 反正弦函数正弦函数y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。记作arcsinx,表示一个正弦值为x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]。[1] 反余弦函数
余弦函数y=cos x在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。记作arccosx,表示一个余弦值为x的角,该角的范围在[0,π]区间内。定义域[-1,1] , 值域[0,π]。[1] 反正切函数正切函数y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函数,叫做反正切函数。记作arctanx,表示一个正切值为x的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。定义域R,值域(-π/2,π/2)。[1] 反余切函数余切函数y=cot x在(0,π)上的反函数,叫做反余切函数。记作arccotx
,表示一个余切值为x的角,该角的范围在(0,π)区间内。定义域R,值域(0,π)。[1] 反正割函数正割函数y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函数,叫做反正割函数。记作arcsecx,表示一个正割值为x的角,该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。定义域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。[1]
余割函数y=csc x在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函数,叫做反余割函数。记作arccscx,表示一个余割值为x的角,该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。定义域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。[1] 2.5.3常用的关系公式
在数学中,常数函数(也称常值函数)是指值不发生改变(即是常数)的函数。例如,我们有函数f(x)=4,因为f映射任意的值到4,因此f是一个常数。更一般地,对一个函数f: A→B,如果对A内所有的x和y,都有f(x)=f(y),那么,f是一个常数函数 |
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