可能是最好的讲解双曲函数的文章

（近期好几个知友询问我能否转载，我在这说一下：随意，无论你是不是商业的。但是任何转载都请私信我转载到了哪里，以及转载时告诉读者从哪里转载的）

对之前在双曲函数的来历是什么，与三角函数有什么关系？ - 数学问题下的回答不太满意，故在此重新撰文。尽我所能全面具体详细地介绍双曲函数相关的方方面面，希望它能成为最好的讲解双曲函数的文章。

除了第七部分，高中生都应该可以看懂，因此我不希望大家回复「不明觉厉」，而是看懂它并回复「受益匪浅」。

我希望想了解双曲函数的知友看了我的文章都能有所收获。

双曲函数的起源是悬链线，首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇。他绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状，遗憾的是他没有得到答案就去世了。

时隔170年之久，著名的雅各布·伯努利在一篇论文中又提出了这个问题，并且试图去证明这是一条抛物线。事实上，在他之前的伽利略和吉拉尔都猜测链条的曲线是抛物线。

一年之后，雅各布的证明毫无进展（废话，证明错的东西怎么会有进展）。而他的弟弟约翰·伯努利却解出了正确答案，同一时期的莱布尼茨也正确的给出了悬链线的方程。他们的方法都是利用微积分，根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后再求解。

18世纪，约翰·兰伯特开始研究这个函数，首次将双曲函数引入三角学；19世纪中后期，奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线，威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线。至此，双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位。

19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数。伴随着欧拉公式的诞生，双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一。

在讲双曲函数的定义之前，我们先看一看三角函数的定义。如图所示：

在实域内，三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。当然这个「长度」是有正负的。

同理，双曲函数的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的。如图：

具体的定义为

\cosh x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}，

\sinh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}，

\tanh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}。

和对应的三角函数性质十分类似，但又有一定的区别。

双曲函数恒等式一定要结合着三角函数恒等式一起看，真的是太像了：