数学竞赛常用结论总结

本文旨在对数学竞赛中经常出现的杂乱结论进行简单总结，基本上都是自己遇到的，或者是看一些参考书遇到的，这些结论繁多复杂，其中有一些又比较难记，不时常复习很容易忘掉，因此便有了写此文的想法，一是总结起来方便自己查看，二是想对大家有一定的帮助。总体上算是总结一下自己的笔记。

本文不会对高数书本上的知识点进行总结，更多的是一些课本上没有的，但是数学竞赛经常会用到的。主要分为极限，不等式，积分等几个方面，还有一些杂七杂八的知识。同时，本文也会时常更新，补充一些自己没见过的结论。对于其中的一些结论，本文只是给出，并不进行严谨证明，感兴趣的读者可以自证或者找相关文章阅读。水平有限，如有错误，欢迎指出。

另外希望大家可以多多点赞，给作者更新的动力。

尽吾志也而不能至者,可以无悔矣,其孰能讥之乎？

1.stirling公式

n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^{n}e^{\alpha_{n}} 其中. \frac{1}{12n+1} ＜\alpha_{n}＜\frac{1}{12n}

求极限，尤其是对于阶乘类极限经常会用到的一个结论。

2.\lim\limits_{n\to+\infty}lnn!\sim nlnn

lnn!\leq nlnn;n＞1

3.k＞0,a＞1;(lnn)^{k}\leq n^{k}\leq a^{n}\leq n!\leq n^{n}

4.一些小结论

\begin{align} \lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n} & =1 \\ \lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{c} & = 1 \\ \lim\limits_{x\to0}1-x^{\frac{1}{k}}&=1-e^{\frac{1}{k}ln(1+x-1)}\sim\frac{1}{k}(1-x)\\\lim\limits_{n\to+\infty}1-\sqrt[k]{cosx}&=-\frac{1}{k}(cosx-1)\sim\frac{x^{2}}{2k}\\\lim\limits_{n\to+\infty}1-(1-\frac{1}{n})^{x}&=-(e^{xln(1-\frac{1}{n})}-1)\sim\frac{x}{n}\end{align}

5. cauchy 定理：若\lim\limits_{n\to+\infty}a_{n}=a ,则 \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{a_{1}+\cdot\cdot\cdot +a_{n}}{n}=a

a可为正无穷 ， 利用stolz公式即可得到

6.\lim\limits_{n\to+\infty}a_{n}=a＞0 ，则 \lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_{1}\cdot\cdot\cdot a_{n}}=a

7.a_{n}＞0，\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=a＞0,则\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=a

prove:b_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n-1}},a_{0}=1,\Rightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}b_{i}}=a

最后一步用到了 4

8.a_{n}\geq0，A=max \left\{ a_{1},\cdot\cdot\cdot, a_{n} \right\},\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_{1}^{n}+\cdot\cdot\cdot+a_{k}^{n}}=A

夹逼定理即可证明。

9.Taylor公式

下面列举常见的麦克劳林公式

\color{red}{Taylor公式可进行求导积分运算}

(1)e^{x}=\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{1}{n!}x^{n} ；x\in(-\infty,+\infty)

e^{sinx}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{8}x^{4}-\frac{1}{15}x^{5}-\frac{1}{240}x^{6}+\circ(x^{7})

e^{tanx}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x^{3}+\frac{3}{8}x^{4}+\frac{37}{120}x^{5}+\frac{59}{240}x^{6}+\circ(x^{7})

e^{arcsinx}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{5}{24}x^{4}+\frac{1}{6}x^{5}+\frac{17}{144}x^{6}+\frac{13}{126}x^{7}+\frac{629}{8064}x^{8}+\circ(x^{9})

e^{arctanx}=11+x+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{6}x^{3}-\frac{7}{24}x^{4}+\frac{1}{24}x^{5}+\frac{29}{144}x^{6}-\frac{1}{1008}x^{7}-\frac{1219}{8064}x^{8}-\circ(x^{9})

e^{e^{x}}=e+ex+ex^{2}+\frac{5e}{6}x^{3}+\frac{5e}{8}x^{4}+\frac{13e}{30}x^{5}+\frac{203e}{720}x^{6}+\frac{877e}{5040}x^{7}+\frac{23e}{244}x^{8}+\frac{1007e}{17280}x^{9}+\cdot\cdot\cdot

(1+x)^{\frac{1}{x}}=e(1-\frac{x}{2}+\frac{11}{24}x^{2}-\frac{7}{16}x^{3}+\frac{2447}{5760}x^{4}-\frac{959}{2304}x^{5})+\circ(x^{5})

利用 \color{red}{ (1+x)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{ln(1+x)}{x}}} 复合的泰勒展开即得

(2)sinx=\sum_{n=0}^{\infty}{}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1};cosx=\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}

x\in(-\infty,+\infty)

二者可求导积分互推

(3) \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}{}x^{n};x\in(-1,1)

\color{red}{将-x换成x^{2}，再积分即可得到arctanx泰勒展开}

(4)ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}{}\frac{(-1)^{n}}{n+1}x^{n+1};x\in(-1,1]

ln(\frac{1+x}{1-x})=2\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{x^{2n-1}}{2n-1};x\in(-1,1)

lnsinx=lnx-\frac{1}{6}x^{2}-\frac{1}{180}x^{4}-\frac{1}{2835}x^{6}-\frac{1}{37800}x^{8}+\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n}\frac{2^{2n-1}B_{2n}}{n(2n)!}x^{2n}+\cdot\cdot\cdot;0＜x^{2}＜\pi^{2}

lncosx=-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{45}x^{6}++(-1)^{n}\frac{2^{2n-1}(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{n(2n)!}x^{2n}+;x^{2}＜\frac{\pi^{2}}{4}

lntanx=lnx+\frac{1}{3}x^{2}+\frac{7}{90}x^{4}+\frac{62}{2835}x^{6}++(-1)^{n-1}\frac{2^{2n}(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{n(2n)!}x^{2n};0＜x^{2}＜\frac{\pi^{2}}{4}

(5)(1+x)^{\alpha}=1+\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{\alpha (\alpha-1)\cdot\cdot\cdot(\alpha-n+1)}{n!}x^{n}; x\in(-1,1)

(6)tanx=\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}x^{2n-1};x^{2}＜\frac{\pi^{2}}{4}

(7)secx=\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}

(8)arctanx=\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1};x\in[-1,1]

(9)arcsinx=\sum_{n=0}^{\infty}{}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}x^{2n+1};x\in(-1,1)

(10)sinhx=\sum_{n=0}^{\infty}{}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

(11)coshx=\sum_{n=0}^{\infty}{}\frac{x^{2n}}{(2n)!}

(12)tanhx=\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{B_{2n}2^{2n}(2^{2n}-1)x^{2n-1}}{(2n)!};\left| x \right|＜\frac{\pi}{2}

(13)sechx=\sum_{n=0}^{\infty}{}\frac{E_{2n}x^{2n}}{(2n)!};\left| x \right|＜\frac{\pi}{2}

(14)arcsinhx= \sum_{n=0}^{\infty}{}(\frac{(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}})\frac{x^{2n+1}}{2n+1};\left| x \right|＜1

(15)arctanhx=\sum_{n=0}^{\infty}{}\frac{x^{2n+1}}{2n+1};\left| x \right|＜1

(16)cscx=\sum_{n=0}^{\infty}{}\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1};x\in(0,\pi)

(17)cotx=\sum_{n=0}^{\infty}{}\frac{(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1};x\in(0,\pi)

(18)cothx=\sum_{n=0}^{\infty}{}\frac{2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1};0＜\left| x \right|＜\pi

(19)cschx=\sum_{n=0}^{\infty}{}\frac{2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1};x\in(0,\pi)

(20)arccosx=\frac{\pi}{2}-arcsinx=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=0}^{\infty}{}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}x^{2n+1}

(21)arccotx=\frac{\pi}{2}-arctanx=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}

(22)arccoshx=ln2x-\sum_{n=1}^{\infty}{}(\frac{(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}})\frac{x^{-2n}}{2n}

只要记住常用函数的泰勒展开，其余的可求导积分逆运算得到或者简单推导，另外还有一部分不常用

另外关于泰勒公式还要注意其收敛半径的问题，感兴趣可以自行搜索。

10.

p＞-1

\lim\limits_{n\to+\infty}1^{p}+2^{p}+\cdot \cdot \cdot +n^{p}\sim\frac{n^{p+1}}{p+1}

p=-1

\lim\limits_{n\to+\infty}1+\frac{1}{2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n}\sim lnn

注： \sum_{k=1}^{n}{}\frac{1}{k}=lnn+\gamma+\varepsilon_{n} , \varepsilon_{n}\sim\frac{1}{2n}

\gamma=0.577216\cdot\cdot 为欧拉常数

11.(1)设f^{'}(x)在[0,1]上连续，则：

\lim\limits_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}\sqrt[n]{x}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx

\lim\limits_{n\to+\infty}n\int_{0}^{1}x^{n}f(x)dx=f(1)

(2)设f(x)在[a,b]上连续且非负，M为f(x)在[a,b]上最大值，则：

\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\int_{a}^{b}[f(x)]^{n}dx}=M

关于 11. 后面极限专题会证明。

1.积化和差，和差化积

sin\alpha+sin\beta=2sin\frac{\alpha+\beta }{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}

sin\alpha-sin\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}

cos\alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}

cos\alpha-cos\beta=-2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}

记忆口诀：积化和差二倍半，和前函数名不变，余弦定，正弦变，余弦相减加负号

sin\alpha cos\beta=\frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)]

cos\alpha cos\beta=\frac{1}{2}[cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)]

cos\alpha sin\beta=\frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)]

sin\alpha sin\beta=-\frac{1}{2}[cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)]

记忆口诀：积化和差得和差，余弦在后要相加。异名函数取正弦，正弦正弦加负号

很重要，务必牢记。

2. 一些公式

tanx=cotx-2cot2x

csc2x-cot2x=tanx

tanx=\frac{sin2x}{1+cos2x}=\frac{tan2x}{sec2x+1}

sin3x=3sinx-4(sinx)^{3} ;cos3x=4(cosx)^{3}-3cosx

y=tanx,x=n\pi+arctany

3. 反三角函数

arccotx+arctanx=\frac{\pi}{2}

arcsinx+arccosx=\frac{\pi}{2}

arctanx+arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}

arcsin\sqrt{x}+arcsin\sqrt{1-x}=\frac{\pi}{2}

arctanx+\frac{1}{2}arcsin\frac{2x}{1+x^{2}}=\frac{\pi}{2}；\left| x \right|＞1

f(x)=arctanx+\frac{1}{2}arcsin\frac{2x}{1+x^{2}}

f^{'}(x)=0 ,即可得到此定义域下函数为常函数。

cos(narccosx)=\frac{(x+\sqrt{x^{2}-1})^{n}+(x-\sqrt{x^{2}-1})^{n}}{2};n\geq1

(1)arcsinx

\begin{align}arcsinx&=arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\\&=arccos\sqrt{1-x^{2}}\\&=arccot\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}\\ \end{align}

\begin{align}arcsinx+arcsiny&=arcsin(x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}});xy\leq0,x^{2}+y^{2}\leq1\\&=\pi-arcsin(x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}});x＞0,y＞0,x^{2}+y^{2}＞1\\&=-\pi-arcsin(x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}) ;x＜0,y＜0,x^{2}+y^{2}＞1\end{align}

\begin{align}arcsinx-arcsiny&=arcsin(x\sqrt{1-y^{2}}-y\sqrt{1-x^{2}});xy\geq0,x^{2}+y^{2}\leq1\\&=\pi-arcsin(x\sqrt{1-y^{2}}-y\sqrt{1-x^{2}});x＞0,y＜0,x^{2}+y^{2}＞1 \\ &=-\pi-arcsin(x\sqrt{1-y^{2}}-y\sqrt{1-x^{2}});x＜0,y＞0,x^{2}+y^{2}＞1 \end{align}

\begin{align} 2arcsinx&=arcsin(2x\sqrt{1-x^{2}});\left| x \right|\leq\frac{\sqrt{2}}{2} \\&=\pi-arcsin(2x\sqrt{1-x^{2}});\frac{\sqrt{2}}{2} ＜x\leq1\\&=-\pi-arcsin(2x\sqrt{1-x^{2}});-1\leq x＜-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align}

(2)arccosx

\begin{align}arccosx&=arccot\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\\&=arcsin\sqrt{1-x^{2}}\\&=arctan\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}\end{align}

\begin{align}arccosx+arccosy&=arccos[xy-\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}];x+y\geq0\\&=2\pi-arccos[xy-\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}];x+y＜0\end{align}

\begin{align}arccosx-arccosy&=-arccos[xy+\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}];x\geq y\\&=arccos[xy+\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}];x＜y\end{align}

\begin{align}2arccosx&=arccos(2x^{2}-1);0\leq x\leq1\\&=2\pi-arccos(2x^{2}-1);-1\leq x＜0\end{align}

(3)arctanx:

\begin{align}arctanx&=arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\\&=arccos\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\\&=arccot\frac{1}{x}\end{align}

\color{red}{注}:\alpha=arctanx,\Rightarrow x=tan\alpha

sin\alpha=\frac{tan\alpha}{\sqrt{1+(tan\alpha)^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}

\alpha=arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}

\begin{align}arctanx+arctany&=arctan\frac{x+y}{1-xy};xy＜1\\&=\pi+arctan\frac{x+y}{1-xy};x＞0,xy＞1\\&=-\pi+arctan\frac{x+y}{1-xy};x＜0,xy＞1\\&=\frac{\pi}{2};xy=1,x＞0\\&=-\frac{\pi}{2};xy=1,x＜0\end{align}

\color{red}{注} :let:f(x,y)=arctanx+arctany-arctan\frac{x+y}{1-xy}

\Rightarrow\frac{\partial f}{\partial x}=0;\frac{\partial f}{\partial y}=0, xy=1 将 R^{2} 分为3个区域 D1:xy＜1;D2:xy＞1,x＞0;D3:xy＞1,x＜0 ，三个区域上偏导数分别为0，所以函数值为常数

取 (0,0)\in D1,f(0,0)=0 ,因此在此区域，函数值为0

同理可得 D2,D3 区域函数值

通过此例，希望读者可以有举一反三的能力，而不只是死记公式。

\begin{align}arctanx-arctany&=arctan\frac{x-y}{1+xy};xy＞-1\\&=\pi+arctan\frac{x-y}{1+xy};x＞0,xy＜-1\\&=-\pi+arctan\frac{x-y}{1+xy};x＜0,xy＜-1\end{align}

\begin{align}2arctanx&=arctan\frac{2x}{1-x^{2}};\left| x \right|＜1\\&=\pi+arctan\frac{2x}{1-x^{2}};x＞1\\&=-\pi+arctan\frac{2x}{1-x^{2}};x＜-1\end{align}

对于一些著名的不等式 Cauchy,Jensen 等在此不罗列，后面有不等式专题详细讲解。

1. 对数

(1)0＜x＜1，

1-\frac{1}{x}＜\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})＜\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}＜lnx＜\frac{2(x-1)}{x+1}＜x-1

x＞1，

1-\frac{1}{x}＜\frac{2(x-1)}{x+1}＜lnx＜\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}＜\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})＜x-1

(2)\frac{x}{1+x}＜\frac{2x}{2+x}＜ln(1+x)＜\frac{x}{\sqrt{1+x}}＜x

\Rightarrow\frac{1}{n+1}＜ln(1+\frac{1}{n})＜\frac{1}{n}

(3)\frac{1}{a}＜\frac{lna-lnb}{a-b}＜\frac{1}{b} a\ne b

(4)ALG不等式:a,b＞0,a\ne b

\frac{a+b}{2}＞\frac{a-b}{lna-lnb}＞\sqrt{ab} ,推广

\frac{a-b}{lna-lnb}＜\frac{a+b+4\sqrt{ab}}{6}＜\frac{a+b}{2}

(5)x,y＞0,x\ne y

xlnx+ylny＞(x+y)ln(\frac{x+y}{2})

由 y=xlnx 凹凸性可得

2.三角

(1)\prod_{k=1}^{n}cos\frac{x}{2^{k}}=\frac{sinx}{2^{n}sin\frac{x}{2^{n}}}

提示： sin2x=2sinxcosx

(2)\frac{sinx}{x}=\prod_{n=1}^{\infty}cos\frac{x}{2^{n}}

(3)\frac{sinx}{x}=\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^{2}}{n^{2}\pi^{2}})

(4)cosx=\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{4x^{2}}{(2n-1)^{2}\pi^{2}})

(5)tanx=-\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{8x}{4x^{2}-(2n-1)^{2}\pi^{2}}

(6)\sum_{k=1}^{n}{sinkx}=\frac{cos\frac{x}{2}-cos[(n+\frac{1}{2})x]}{2sin\frac{x}{2}}

\sum_{k=1}^{n}{}sin\frac{k\pi}{n}=\frac{cos\frac{\pi}{2n}-cos(n+\frac{1}{2})\frac{\pi}{n}}{2sin\frac{\pi}{2n}}=\frac{1}{tan\frac{\pi}{2n}}

由积化和差公式可得

(7)\sqrt{2+\sqrt{2+\cdot\cdot\cdot \sqrt{2+cosx}}}=2cos\frac{x}{2^{n-1}}

提示： 1+cosx=2(cos\frac{x}{2})^{2}

(8)1-2x^{2}＜cos2x＜1;x\in(0,1)

(9) 若尔当不等式：

\frac{2x}{\pi}\leq sinx\leq x;0\leq x\leq\frac{\pi}{2}

(10)cosx＜1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}

由泰勒公式可得

(11)1-\frac{x^{2}}{2}＜cosx＜1-\frac{x^{2}}{\pi};0＜x＜\frac{\pi}{2}

(12)\left| sinnx \right|\leq n\left| sinx \right|

数学归纳法可得

(13)x-\frac{x^{3}}{6}\leq sinx\leq x

3.指数

(1)\frac{e}{1+\frac{1}{2n}}＜(1+\frac{1}{n})^{n}＜e＜(1+\frac{1}{n})^{n+1}＜e(1+\frac{1}{2n})

prove:(1+\frac{1}{n})^{n+1}＜e(1+\frac{1}{2n})

\Leftrightarrow (n+1)ln(1+\frac{1}{n})＜1+ln(1+\frac{1}{2n}) ; \frac{1}{n}=x\in(0,1]

\Leftrightarrow(\frac{1}{x}+1)ln(1+x)＜1+ln(1+\frac{x}{2})

\Leftrightarrow (x+1)ln(x+1)＜x+xln(1+\frac{x}{2})

f(x)=x+xln(1+\frac{x}{2})-(1+x)ln(1+x)

f^{'}(0)=0,f^{''}(x)＞0\Rightarrow f(x)＞f(0)=0

(2):(\frac{n+1}{e})^{n}＜n!＜e(\frac{n+1}{e})^{n+1};\forall n \in N^{+}

(3).e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdot\cdot+\frac{1}{n!}+\frac{\theta}{n!n}

\theta\in(0,1)

对于某些题，此公式很方便。

1.\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}{}f[a+\frac{i}{n}(b-a)]=\int_{a}^{b}f(x)dx

特别地，\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{f(}\frac{i}{n})=\int_{0}^{1}f(x)dx

2.\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}{}\sum_{j=1}^{n}{f(}\frac{i}{n},\frac{j}{n})=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}f(x,y)dy

3.沃利斯(wallis)公式

\frac{\pi}{2}=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{2n+1}[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}]^{2}

4.\frac{1}{\sqrt{\pi(n+\frac{1}{2})}}＜\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}＜\frac{1}{\sqrt{\pi n}};n\in N^{+}

5.\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(sinx)^{n}dx\sim\sqrt{\frac{\pi}{2n}}

prove :

I_{n}递减 ， I_{n+1}I_{n}\leq I_{n}^{2}\leq I_{n}I_{n-1}

\frac{1}{n+1}\frac{\pi}{2}\leq I_{n}^{2} \leq \frac{1}{n}\frac{\pi}{2}

\frac{n}{n+1}\leq \frac{I_{n}^{2}}{\frac{\pi}{2n}}\leq1.QED

6.\int_{0}^{+\infty}e^{-ax^{2}}cosbxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{b^{2}}{4a}}

由此易得 泊松(poisson)积分 公式。

7.狄拉克雷(Dirichlet)积分

I=\int_{0}^{\infty}\frac{sinx}{x}dx=\frac{\pi}{2}

8.菲涅尔(Fresnel)积分

\int_{0}^{\infty}sin(x^{2})dx=\int_{0}^{\infty}cos(x^{2})dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}

9.拉普拉斯(laplace)积分

\int_{0}^{\infty}\frac{cosbx}{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{\pi}{2a}e^{-ab}；\int_{0}^{\infty}=\frac{xsinbx}{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{\pi}{2}e^{-ab}

10.欧拉(euler)积分

\int_{0}^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1+x}dx=\frac{\pi}{sin\pi a}(0＜a＜1)

11.B函数(贝塔函数，第一类欧拉积分)

B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt;Rex＞0,Re y＞0

性质：

(1).对称性 B(x,y)=B(y,x)

(2).B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

(3).B(x,y)=\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}

12.\Gamma 函数(伽马函数，第二类欧拉积分)

\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt;Rez＞0

性质：

(1).\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n!(z为正整数n)

(2).\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{sin\pi s};s\in(0,1) 也叫余元公式

1. a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdot\cdot\cdot-ab^{n-2}+b^{n-1})

a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdot\cdot\cdot+ab^{n-2}+b^{n-1})

2. max\left\{ x,y \right\}=\frac{1}{2}(x+y+\left| x-y \right|)

min\left\{ x,y \right\}=\frac{1}{2}(x+y-\left| x-y \right|)

3.几大重要常数

(1)欧拉(euler)常数\gamma

\gamma=\lim\limits_{n\to+\infty}(\sum_{k=1}^{n}{}\frac{1}{k}-lnn)

\gamma=0.5772156649\cdot\cdot

(2)卡特兰(catalan)常数

G=\sum_{m=0}^{\infty}{}\frac{(-1)^{m}}{(2m+1)^{2}}

G=0.915965594\cdot\cdot

(3)伯努利(bernoulli)数B_{n},B_{2n}

\begin{align} B_{0}&=1\\B_{1}&=-\frac{1}{2}\\B_{2}&=\frac{1}{6}\\B_{3}&=0\\B_{4}&=-\frac{1}{30}\\B_{5}&=0\\B_{6}&=\frac{1}{42}\\B_{7}&=0\\B_{8}&=-\frac{1}{30}\\B_{9}&=0\\B_{10}&=\frac{5}{66}\\&\\ \end{align}

伯努利数中，当n为奇数时，除B1外，其他均为0

(4)欧拉数E_{n},E_{2n}

\begin{align}E_{0}&=1\\E_{1}&=0\\E_{2}&=-1\\E_{3}&=0\\E_{4}&=5\\E_{5}&=0\\E_{6}&=61\\E_{7}&=0\\E_{8}&=1385\\E_{9}&=0\\\end{align}

欧拉数中，n为奇数时均为0

关于欧拉数与伯努利数，见下文

4. 阶乘

(1) (\frac{n}{e})^{n}＜n!＜e(\frac{n}{2})^{n}

(2)\frac{1}{\sqrt{4n}}\leq u_{n}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\leq\frac{1}{\sqrt{2n+1}}

prove:右边

u_{n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\cdot\cdot\frac{2n-1}{2n}＜\frac{2}{3}\cdot\cdot\cdot\frac{2n}{2n-1}=x_{n}

u_{n}\cdot u_{n}＜u_{n}\cdot x_{n}=\frac{1}{2n+1} ；

左边

(u_{n})^{2}=\frac{1}{2}(\frac{3^{2}}{3\times4})(\frac{5^{2}}{4\times6})\cdot\cdot\cdot(\frac{(2n-1)^{2}}{(2n-2)2n})\frac{1}{2n}＞\frac{1}{4n}

注：给个类似的

\begin{align}I_{n}&=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}=\frac{2}{3}\frac{4}{5}\cdot\cdot\cdot\frac{2n}{2n+1}\\&=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{4}{\sqrt{3}\sqrt{5}}\frac{6}{\sqrt{5}\sqrt{7}} \cdot\cdot\cdot\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\\&\geq\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot1\cdot1\cdot\cdot\cdot\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\\&\geq \frac{2}{\sqrt{3\cdot3n}}=\frac{2}{3\sqrt{n}}\end{align}

其中用到了：\frac{n}{\sqrt{n-1}\sqrt{n+1}}＞1

(3)lnn!=\frac{1}{2}ln(2\pi)+(n+\frac{1}{2})lnn-n

(4)\frac{1}{\sqrt{\pi(n+\frac{1}{2})}}\leq \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\leq \frac{1}{\sqrt{\pi(n+\frac{1}{4})}} n\in N^{+}

5.取整函数

(1)\left[ x \right]\leq x＜\left[ x \right]+1

(2)\left[ \frac{n}{x} \right]\geq\frac{n}{x}-\frac{n-1}{x}

(3) 厄米特恒等式：\sum_{k=0}^{n-1}{}\left[ x+\frac{k}{n} \right]=\left[ nx \right]

6.

(x_{0}，y_{0})关于Ax+By+C=0对称的点为(x_{1}，y_{1})

x_{1}=x_{0}-\frac{2A}{A^{2}+B^{2}}(Ax_{0}+By_{0}+C)

y_{1}=y_{0}-\frac{2B}{A^{2}+B^{2}}(Ax_{0}+By_{0}+C)

7.复数

euler公式：e^{ix}=cosx+isinx

复数表示形式：

z=a+bi=rcos\theta +rsin\theta i=re^{i\theta}=r\angle\theta

8.棣莫弗公式(De .Moiver)

表述为：两个复数之积，模为两者模相乘，弧角为两者弧角相加。

z_{1}=r_{1}(cos\theta_{1}+isin\theta_{1});z_{2}=r_{2}(cos\theta_{2}+isin\theta_{2})

z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}[cos(\theta _{1}+\theta_{2})+isin(\theta _{1}+\theta_{2})]

\Rightarrow z^{n}=r^{n}(cos\theta +isin\theta)^{n}=r^{n}(cosn\theta+isinn\theta);\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\theta}{n}+isin\frac{\theta}{n})

9. 累加与累乘

(1)a_{n}=\prod_{k=2}^{n}(1+\frac{1}{k^{2}}) 收敛

prove:lna_{n}=\sum_{k=2}^{n}{}ln(1+\frac{1}{k^{2}})\leq\sum_{k=2}^{n}{}\frac{1}{k^{2}}＜\sum_{k=2}^{n}{}\frac{1}{k(k-1)}\leq1

\Rightarrow a_{n}\leq e

累加与累乘转化的一个方法就是 \color{red}{取对数}

(2)\sum_{k=1}^{n}{}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}；\sum_{k=1}^{n}{}k^{3}=[\frac{n(n+1)}{2}]^{2}

\sum_{k=1}^{n}{}k^{4}=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)

1^{k}+2^{k}+\cdot\cdot +n^{k}=\frac{n^{k+1}}{k+1}+\frac{n^{k}}{2}+\frac{k}{2}B_{2}n^{k-1}+\frac{k(k-1)(k-2)}{2\cdot3\cdot4}B_{4}n^{k-3}+\cdot\cdot

(3)ln(n+1)＜1+\frac{1}{2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n}＜1+lnn

prove:

lemma:f(x)\in C(0,+\infty),f^{'}(x)\leq0,f(x)＞0.\Rightarrow f(k+1)\leq\int_{k}^{k+1}f(x)dx\leq f(k)

let:f(x)=\frac{1}{x},(x＞0)

\Rightarrow\frac{1}{n+1}\leq\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx\leq\frac{1}{n}

ln(n+1)=\int_{1}^{n+1}\frac{1}{x}dx=\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx+\cdot\cdot+\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx\leq1+\frac{1}{2}+\cdot\cdot+\frac{1}{n}

1+lnn=1+\int_{1}^{n}\frac{1}{x}dx=1+\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx+\cdot\cdot+\int_{n-1}^{n}\frac{1}{x}dx\geq1+\frac{1}{2}+\cdot\cdot+\frac{1}{n}

QED.

(4)s＞0,\frac{n^{s+1}}{s+1}＜1^{s}+2^{s}+\cdot\cdot\cdot +n^{s}＜\frac{(n+1)^{s+1}}{s+1}

\frac{n^{s+1}}{s+1}=\int_{0}^{n}x^{s}dx＜1^{s}+2^{s}+\cdot\cdot\cdot +n^{s}＜\int_{1}^{n+1}x^{s}dx=\frac{(n+1)^{s+1}-1}{s+1}＜\frac{(n+1)^{s+1}}{s+1}

n\geq2,n^{n}[1+\frac{1}{4(n-1)}]\leq 1+2^{2}+3^{3}+\cdot\cdot+n^{n}＜ n^{n}[1+\frac{2}{e(n-1)}]

10.高次韦达定理

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdot\cdot+a_{1}x^{}+a_{0}

有根x_{1},x_{2},\cdot \cdot x_{n}

\sum_{i=1}^{n}{}x_{i}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}}；\sum_{j\ne k}^{}{}x_{i}x_{j}=\frac{a_{n-2}}{a_{n}}；

\prod_{i=1}^{n}x_{i}=(-1)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}；\sum_{i=1}^{n}{}\frac{1}{x_{i}}(x_{1}\cdot\cdot x_{n})=(-1)^{n-1}\frac{a_{1}}{a_{n}}

\sum_{i=1}^{n}{}\frac{1}{x_{i}}=-\frac{a_{1}}{a_{0}}

到此本文告一段落，对于上面的结论，并不要求全部死记，而是多看，多用，用的多了自然而然就记住了。做题最重要的并不是一些结论，而是思考，善于自我思考，勤思考，思路自然多。结论更多时候像是一条捷径，有时候我们知道这些结论可能会让你做题速度快一点，但是这些并不是更加本质的东西。

下附往期文章：

【1】《高等数学》 同济大学数学系 高等教育出版社 第六版

【2】《积分的方法与技巧》金玉明 中国科学技术大学出版社 第一版

【3】《大学生数学竞赛习题精讲》 陈兆斗 清华大学出版社 第三版

【4】《微积分学教程》（第一卷） \Gamma.M.菲赫金哥尔茨 高等教育出版社 第八版