| 【现代控制】线性系统能控性判据 | 您所在的位置：网站首页 › 双线性函数满秩证明 › 【现代控制】线性系统能控性判据 |
【现代控制】线性系统能控性判据
|
文章目录
一、能控性的定义二、能控性判据1.格拉姆矩阵判据2.秩判据3.PBH判据4.约当规范形判据
三、MATLAB仿真总结
下面的所有讨论都是以线性连续定常系统为前提。 一、能控性的定义一个线性定常连续系统： x ˙ = A X + B u \pmb {\dot{x}}=\pmb{AX}+\pmb{Bu} x˙=AX+Bu 如果存在一个分段连续的输入 u ( t ) \pmb u(t) u(t),能在有限时间区间 [ t 0 , t f ] [t_0,t_f] [t0,tf]内，使系统由某一初始状态 x ( t 0 ) \pmb x(t_0) x(t0),转移到指定的任一终端状态 x ( t f ) \pmb x(t_f) x(tf),则称此状态空间是能控的。如果系统的所有状态变量都能控，则称此系统是完全能控的。 简单的说，能控性就是看一个系统的输入能否影响系统的内部状态。 二、能控性判据这里列出了四个较为常见的能控性判据的结论，结论证明的篇幅较长先不说明。 1.格拉姆矩阵判据[结论] 连续时间线性时不变系统为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 t 1 t_1 t1>0,使如下定义的格拉姆矩阵 W e [ 0 , t 1 ] : = ∫ 0 t 1 e − A t B B T e − A T t d t W_e[0,t_1]:=\int_{0}^{t_1}e^{-At}BB^Te^{-A^Tt}dt We[0,t1]:=∫0t1e−AtBBTe−ATtdt为非奇异。 该判据具有理论意义，工程上并不会使用格拉姆矩阵判据。 2.秩判据秩判据是利用格拉姆矩阵判据所推导出来的。 [结论] 对n维连续时间线性时不变系统，构造能控性判别矩阵: Q c = [ B A B . . . A n − 1 B ] \pmb Q_c=\begin{bmatrix}B&AB&...&A^{n-1}B\end{bmatrix} Qc=[BAB...An−1B]那么系统完全能控的充分必要条件为 r a n k ( Q c ) = r a n k ( [ B A B . . . A n − 1 B ] ) = n rank(\pmb Q_c)=rank(\begin{bmatrix}B&AB&...&A^{n-1}B\end{bmatrix})=n rank(Qc)=rank([BAB...An−1B])=n 3.PBH判据[结论] 对n维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为 r a n k ( s I − A , B ) = n , rank(s\pmb I-A,B)=n, rank(sI−A,B)=n,或 r a n k ( λ i I − A , B ) = n , i = 1 , 2 , . . . , n rank(\lambda _i\pmb I-A,B)=n,i=1,2,...,n rank(λiI−A,B)=n,i=1,2,...,n 其中 λ i \lambda _i λi为系统特征值。 4.约当规范形判据由于约当规范形判据的结论比较抽象，在这里结合例子来说明约旦规范形判据的用法。 使用约旦规范形判据前需要将系统矩阵化为对角矩阵或约当矩阵。 【对角标准型判据】 当系统矩阵的特征值两两互异（系统矩阵可以化为对角矩阵）时，直接观察矩阵 B ˉ \bar B Bˉ中有没有全零行向量，若没有则说明系统是完全能控的。 例1 一个连续时间线性时不变系统，设其约当规范形状态方程为 [ x ˙ 1 x ˙ 2 x ˙ 3 ] = [ − 7 0 0 0 − 2 0 0 0 1 ] [ x 1 x 2 x 3 ] + [ 0 2 4 0 0 1 ] [ u 1 u 2 ] \begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2 \\ \dot x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -7&0&0\\0&-2&0\\0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&2\\4&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2 \end{bmatrix} x˙1x˙2x˙3 = −7000−20001 x1x2x3 + 040201 [u1u2] 直接观察矩阵 B ˉ \bar B Bˉ，因为矩阵 B ˉ \bar B Bˉ不包含全零行向量，因此系统完全能控。 例2 一个连续时间线性时不变系统，设其约当规范形状态方程为 [ x ˙ 1 x ˙ 2 x ˙ 3 ] = [ − 7 0 0 0 − 2 0 0 0 1 ] [ x 1 x 2 x 3 ] + [ 0 2 0 0 0 1 ] [ u 1 u 2 ] \begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2 \\ \dot x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -7&0&0\\0&-2&0\\0&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&2\\0&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2 \end{bmatrix} x˙1x˙2x˙3 = −7000−20001 x1x2x3 + 000201 [u1u2] 同样直接观察矩阵 B ˉ \bar B Bˉ，可以看到矩阵 B ˉ \bar B Bˉ的第二行是全零行向量，因此系统不完全能控。 【一般约旦标准型判据】 当系统矩阵的特征值为重根时或不能化为对角矩阵时，这时将其化为约当规范形： x ^ ˙ = A ^ x ^ + B ^ u \dot{\hat{x}}=\hat{A}\hat{x}+\hat{B}u x^˙=A^x^+B^u其中 A ^ = [ J 1 J 2 . . . J l ] n × n , B ^ = [ B ^ 1 B ^ 2 . . . B ^ l ] n × p \hat{A}=\begin{bmatrix} J_1& & & \\ & J_2 & & \\ & &...& \\ & & &J_l\end{bmatrix}_{n\times n},\hat{B}=\begin{bmatrix} \hat{B}_1\\ \hat{B}_2 \\ ...\\\hat{B}_l\end{bmatrix}_{n\times p} A^= J1J2...Jl n×n,B^= B^1B^2...B^l n×p
例3 一个连续时间线性时不变系统，设其约当规范形状态方程为 x ^ ˙ = [ − 2 1 0 − 2 − 2 − 2 3 1 0 3 3 ] x ^ + [ 0 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 7 0 0 0 1 1 0 0 4 1 ] \dot{\hat{x}}=\begin{bmatrix}-2&1& & \\ 0& -2& & \\ & &-2& \\ &&&-2\\&&&&3&1\\&&&&0&3\\&&&&&&3\end{bmatrix}\hat x+\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&4&0\\0&0&7\\0&0&0\\1&1&0\\0&4&1\end{bmatrix} x^˙= −201−2−2−230133 x^+ 010001000400140007001 解： 由题可得,找出特征值-2对应的矩阵 B ^ σ 1 \hat B_{\sigma 1} B^σ1和特征值为3对应的矩阵 B ^ σ 2 \hat B_{\sigma 2} B^σ2，如下 B ^ σ 1 = [ 1 0 0 0 4 0 0 0 7 ] , B ^ σ 2 = [ 1 1 0 0 4 1 ] \hat B_{\sigma 1}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&7 \end{bmatrix},\hat B_{\sigma 2}=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&4&1\end{bmatrix} B^σ1= 100040007 ,B^σ2=[101401] 因为 r a n k ( B ^ σ 1 ) = 3 , r a n k ( B ^ σ 2 ) = 2 rank(\hat B_{\sigma 1})=3,rank(\hat B_{\sigma 2})=2 rank(B^σ1)=3,rank(B^σ2)=2 B ^ σ 1 \hat B_{\sigma 1} B^σ1和 B ^ σ 2 \hat B_{\sigma 2} B^σ2都满秩,因此系统完全能控。 例4 一个连续时间线性时不变系统，设其约当规范形状态方程为 x ^ ˙ = [ − 2 1 0 − 2 − 2 − 2 3 1 0 3 3 ] x ^ + [ 0 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 7 0 1 1 0 0 0 0 4 1 ] \dot{\hat{x}}=\begin{bmatrix}-2&1& & \\ 0& -2& & \\ & &-2& \\ &&&-2\\&&&&3&1\\&&&&0&3\\&&&&&&3\end{bmatrix}\hat x+\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&4&0\\0&0&7\\0&1&1\\0&0&0\\0&4&1\end{bmatrix} x^˙= −201−2−2−230133 x^+ 010000000401040007101 解： 由题可得,找出特征值-2对应的矩阵 B ^ σ 1 \hat B_{\sigma 1} B^σ1和特征值为3对应的矩阵 B ^ σ 2 \hat B_{\sigma 2} B^σ2，如下 B ^ σ 1 = [ 1 0 0 0 4 0 0 0 7 ] , B ^ σ 2 = [ 0 0 0 0 4 1 ] \hat B_{\sigma 1}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&7 \end{bmatrix},\hat B_{\sigma 2}=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&4&1\end{bmatrix} B^σ1= 100040007 ,B^σ2=[000401] 因为 r a n k ( B ^ σ 1 ) = 3 , r a n k ( B ^ σ 2 ) = 1 < 2 rank(\hat B_{\sigma 1})=3,rank(\hat B_{\sigma 2})=1 |
由
B
^
i
k
(
k
=
1
,
2
,
.
.
.
a
)
\hat B_{ik}(k=1,2,...a)
B^ik(k=1,2,...a)最后一行所组成的矩阵满足 
则系统完全能观。【本文地址】