如何求圆方程的二阶导数的三种方法

给出圆标准方程 (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=R^{2}

为求计算方便令h、k=0 半径=1

即变成一个以原点为中心1 为半径的圆 x^2+y^2=1

(提示 下面知识点略微涉及高数中的隐函数求导和参数方程求导)

题目 有圆方程 x^2+y^2=1 由函数y=y(x) 确定 求其二阶导数 \frac{d^2y }{dx^2}

请先自行思考一会

——用求导隐方程的思想暴力求导

对x^2+y^2=1 两边同时求导得

2x+2y\times y'(x)=0 移项得 y'(x)=-\frac{x}{y} （记住这个一阶导数式）

对 2x+2y\times y'(x)=0两边运用乘法法则同时求导得

2+2y'(x)\cdot y'(x)+2y\cdot y ''(x)=0 移项得 y ''(x)=\frac{1+[y '(x)]^{2}}{-y }

带入 y'(x)=-\frac{x}{y}得到 y''(x)=\frac{\frac{y^2+x^2}{y^2}}{-y}=\frac{\frac{1}{y^2}}{-y}=-\frac{1}{y^3}

巴拉巴拉解完了 这里最好不要把答案替换成关于x的表达式 带根号的很麻烦

——用一阶导数来求导

通过解法一 我们算出了该方程的一阶导数 y'(x)=-\frac{x}{y}

直接对它用除法法则求导 即 y''(x)=-(\frac{x'y-xy'}{y^2})=\frac{xy'-y}{y^2}

带入 y'(x)=-\frac{x}{y}得到 y''(x)=\frac{-\frac{x^2}{y}-y}{y^2}=\frac{-\frac{y^2+x^2}{y^2}}{y}=\frac{-\frac{1}{y^2}}{y}=-\frac{1}{y^3}

解完

——看做参数方程来求导

根据图像我们可以得到一个参数方程组

x=cost ， y=sint

先对它们分别求导得

\frac{dx}{dt}=-sint ， \frac{dy}{dt}=cost

然后开始计算一阶导数

y'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\times\frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{cost}{-sint}=-cot t

同理我们有

y''(x)=\frac{dy'}{dx}=\frac{dy'}{dt}\times\frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dy'}{dt}}{\frac{dx}{dt}}

而 \frac{dy'}{dt} 正是y关于t的二阶导数 等于 (cott)'=cot^2t+1 再带回去得

y''(x)=\frac{\frac{dy'}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{cot^2t+1}{-sint}=\frac{(\frac{cost}{sint})^2+1}{-sint}

=\frac{\frac{cos^2t+sin^2t}{sin^2t}}{-sint}=\frac{\frac{1}{sin^2t}}{-sint}=-\frac{1}{sin^3t}=-\frac{1}{y^3}

终于写完了

思路还是可以借鉴一下的嘛

当然有些地方很不严谨 （比如像 \frac{dy'}{dx}=\frac{dy'}{dt}\times\frac{dt}{dx} ）欢迎大家指出 谢谢啦