卡诺图之间的运算（拓展应用）

逻辑代数的基本规律和卡诺图自身特点决定了卡诺图运算结果也具有一定的规律性，例如求反函数，只需要将原函数卡诺图中的0和1互换即可。此外，可利用卡诺图便捷地进行或运算、与运算、异或和同或运算。

设 F 1 = Σ m i ( 1 ) F_1=\Sigma m_{i}^{(1)} F1​=Σmi(1)​， F 2 = Σ m j ( 2 ) F_2=\Sigma m_{j}^{(2)} F2​=Σmj(2)​， F 1 F_1 F1​的卡诺图如图1所示， F 2 F_2 F2​的卡诺图如图2所示，则由或运算符合交换律的性质， F = F 1 + F 2 F=F_1+F_2 F=F1​+F2​的卡诺图如图3所示， F F F的卡诺图中，每一方格的最小项为 F 1 F_1 F1​和 F 2 F_2 F2​卡诺图相应最小项相加，即 m i = m i ( 1 ) + m i ( 2 ) m_i=m_{i}^{(1)}+m_{i}^{(2)} mi​=mi(1)​+mi(2)​。

设 F 1 F_1 F1​、 F 2 F_2 F2​同上，卡诺图如图1和图2所示，由最小项的性质， n n n变量所有最小项中，任何两个不同最小项之积为零，且任何逻辑变量与自身相与还是自身，所以， F = F 1 ⋅ F 2 F=F_1\cdot F_2 F=F1​⋅F2​的卡诺图如图4所示， F F F的卡诺图中，每一方格的最小项为 F 1 F_1 F1​和 F 2 F_2 F2​卡诺图相应最小项相与，即 m i = m i ( 1 ) ⋅ m i ( 2 ) m_i=m_{i}^{(1)}\cdot m_{i}^{(2)} mi​=mi(1)​⋅mi(2)​。

异或和同或互反，所以二者的运算规律是一样的，仅以异或为例说明。

设 F 1 F_1 F1​、 F 2 F_2 F2​同上，卡诺图如图1和图2所示，因 F = F 1 ⊕ F 2 = F 1 F ‾ 2 + F ‾ 1 F 2 F=F_1\oplus F_2=F_1\overline{F}_2+\overline{F}_1F_2 F=F1​⊕F2​=F1​F2​+F1​F2​，则由逻辑非、与运算和或运算的规律， F = F 1 ⊕ F 2 F=F_1\oplus F_2 F=F1​⊕F2​的卡诺图如图5所示， F F F的卡诺图中，每一方格的最小项为 F 1 F_1 F1​和 F 2 F_2 F2​卡诺图相应最小项求异或运算，即 m i = m i ( 1 ) ⊕ m i ( 2 ) m_i=m_{i}^{(1)}\oplus m_{i}^{(2)} mi​=mi(1)​⊕mi(2)​。

按照上述规律，将某逻辑运算化为两个卡诺图之间的运算，既完成了运算，也即时实现了化简。

题1 用卡诺图化简下列函数： F = ( A ˉ ⋅ B ˉ C + A ˉ B C ˉ + A C ) ( A B ˉ ⋅ C ˉ D + A ˉ B C + C D ) F=(\bar{A}\cdot \bar{B}C+\bar{A}B\bar{C}+AC)(A\bar{B}\cdot \bar{C}D+\bar{A}BC+CD) F=(Aˉ⋅BˉC+AˉBCˉ+AC)(ABˉ⋅CˉD+AˉBC+CD) 解析：这道题用代数法直接做也可，这里作为卡诺图运算过程的示例。设 F 1 = A ˉ ⋅ B ˉ C + A ˉ B C ˉ + A C F_1=\bar{A}\cdot \bar{B}C+\bar{A}B\bar{C}+AC F1​=Aˉ⋅BˉC+AˉBCˉ+AC， F 2 = A B ˉ ⋅ C ˉ D + A ˉ B C + C D F_2=A\bar{B}\cdot \bar{C}D+\bar{A}BC+CD F2​=ABˉ⋅CˉD+AˉBC+CD，卡诺图分别为图6（按四变量）和图7。

则 F = F 1 ⋅ F 2 F=F_1\cdot F_2 F=F1​⋅F2​的卡诺图如图8所示，化简得运算结果为 F = A C D + B ‾ C D F=ACD+\overline{B}CD F=ACD+BCD

题2 化简下列函数为最简与或式： F = ( A ˉ ⋅ C ˉ ⋅ D ˉ + B ˉ ⋅ D ˉ + B D ) ⊕ ( A ˉ B D ˉ + B ˉ D + B C D ˉ ) F=(\bar{A}\cdot \bar{C}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{D}+BD)\oplus (\bar{A}B\bar{D}+\bar{B}D+BC\bar{D}) F=(Aˉ⋅Cˉ⋅Dˉ+Bˉ⋅Dˉ+BD)⊕(AˉBDˉ+BˉD+BCDˉ) 解析：直接运算过程非常复杂，采用卡诺图运算，设 F 1 = A ˉ ⋅ C ˉ ⋅ D ˉ + B ˉ ⋅ D ˉ + B D F_1=\bar{A}\cdot \bar{C}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{D}+BD F1​=Aˉ⋅Cˉ⋅Dˉ+Bˉ⋅Dˉ+BD， F 2 = A ˉ B D ˉ + B ˉ D + B C D ˉ F_2=\bar{A}B\bar{D}+\bar{B}D+BC\bar{D} F2​=AˉBDˉ+BˉD+BCDˉ，卡诺图分别为图9和图10。

根据卡诺图之间的异或运算规则， F = F 1 ⊕ F 2 F=F_1\oplus F_2 F=F1​⊕F2​的卡诺图如图11所示，化简得最简与或式为 F = B C ‾ ⋅ D ‾ ‾ = B ˉ + C + D F=\overline{B\overline{C}\cdot \overline{D}}=\bar{B}+C+D F=BC⋅D=Bˉ+C+D

把二变量异或运算的结果（即不同为1，相同为0），扩展到多变量的情况，其结果为：当变量取值中有奇数个1时，异或结果为1，否则为0。例如，四变量异或运算 F ( A , B , C , D ) = A ⊕ B ⊕ C ⊕ D F(A,B,C,D)=A\oplus B\oplus C\oplus D F(A,B,C,D)=A⊕B⊕C⊕D的卡诺图如图12所示。这是一个常用的特殊卡诺图，应当记住。

因同或与异或互反，所以，将异或卡诺图中的0和1互换，即得四变量同或逻辑运算的卡诺图如图13所示。

前面学过，多变量卡诺图的逻辑相邻性直观体现为图形的对折重合，反过来说，高阶（多变量）卡诺图可由低阶卡诺图（例如二变量卡诺图）逐步镜像（对称）扩展得到。所以，我们可以把一个卡诺图“分割”成几个部分，如图14所示，这是四变量异或运算的卡诺图，可分为四个模块。把握这种模块化的方法，有助于对逻辑函数的卡诺图进行局部分析或模块化操作。

分别分析图14中的各个模块，则左上为 A ˉ ⋅ C ˉ ( B ⊕ D ) \bar{A}\cdot \bar{C}(B\oplus D) Aˉ⋅Cˉ(B⊕D)，右上为 A ˉ ⋅ C ( B ⊙ D ) \bar{A}\cdot C(B\odot D) Aˉ⋅C(B⊙D)，左下为 A ⋅ C ˉ ( B ⊙ D ) A\cdot \bar{C}(B\odot D) A⋅Cˉ(B⊙D)，右下为 A ⋅ C ( B ⊕ D ) A\cdot C(B\oplus D) A⋅C(B⊕D)，四个模块相加结果为 A ⊕ C ⊕ B ⊕ D A\oplus C\oplus B\oplus D A⊕C⊕B⊕D。

基于卡诺图之间的运算解决问题，可能的题型有：

①实现复杂的逻辑运算或逻辑函数的化简，例如上文的题1和题2。

②利用卡诺图的模块化特点进行分割，进而利用卡诺图之间的运算实现特定要求的逻辑运算或逻辑电路设计。

题3 用门电路实现下列函数，要求不超过6个门电路单元： F ( A , B , C , D ) = Σ m ( 2 , 7 , 8 , 11 , 13 , 14 ) F(A,B,C,D)=\Sigma m(2,7,8,11,13,14) F(A,B,C,D)=Σm(2,7,8,11,13,14) 解析：本题的理想解决方案之一为 F ( A , B , C , D ) = A F 1 ‾ ⋅ C F 1 ‾ ‾ F(A,B,C,D)=\overline{\overline{AF_1}\cdot \overline{CF_1}} F(A,B,C,D)=AF1​​⋅CF1​​​ 其中， F 1 = A ⊕ B ⊕ C ⊕ D F_1=A\oplus B\oplus C\oplus D F1​=A⊕B⊕C⊕D。

此设计可使用四输入异或门，亦可使用二输入异或门，均不超过6个门电路单元（如图15所示），符合题意，详见下方公众号视频解析。