【二分查找】详细图解

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【二分查找】详细图解

2024-07-09 08:44| 来源: 网络整理| 查看: 265

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二分查找

文章目录二分查找1. 简介2. 例子3. 第一种写法（左闭右闭）3.1 正向写法（正确演示）3.2 反向写法(错误演示) 4. 第二种写法（左闭右开）4.1 正向写法（正确演示）4.2 反向写法（错误演示） 5. 总结

写在前面：

（一）二分法的思想十分容易理解，但是二分法边界处理问题大多数人都是记忆模板，忘记模板后处理边界就一团乱（👁:“我懂了”， ✋ :"你懂个🔨"）因为我此前也是记忆模板，所以现在想通过一边学习，一边将所学记录成博客教出去（费曼学习法），希望以后能自己推导出边界如何处理，而不仅仅是记忆模板。欢迎一起交流学习，如有看法不一样之处也欢迎留言一起讨论！

（二）我主要解释了二分法的左闭右闭区间，左闭右开区间两种写法，并且每个写法都举了相应的反例，范围写错的话可能会出现的错误等…

1. 简介

故事分享🏬：

有一天小明到图书馆借了 N 本书，出图书馆的时候，警报响了，于是保安把小明拦下，要检查一下哪本书没有登记出借。小明正准备把每一本书在报警器下过一下，以找出引发警报的书，但是保安露出不屑的眼神：你连二分查找都不会吗？于是保安把书分成两堆，让第一堆过一下报警器，报警器响；于是再把这堆书分成两堆…… 最终，检测了 logN 次之后，保安成功的找到了那本引起警报的书，露出了得意和嘲讽的笑容。于是小明背着剩下的书走了。从此，图书馆丢了 N - 1 本书。

保安怎么知道只有一本书📖没有登记出借，万一全部都没有登记呢？

这个故事其实说出了二分查找需要的条件

用于查找的内容逻辑上来说是需要有序的查找的数量只能是一个，而不是多个

比如在一个有序的数组并且无重复元素的数组中，例如[1, 2, 3, 4, 5, 6]，需要查找3的位置就可以使用二分查找。

在二分查找中，目标元素的查找区间的定义十分重要，不同的区间的定义写法不一样

因为查找的区间是不断迭代的，所以确定查找的范围十分重要，主要就是左右区间的开和闭的问题，开闭不一样，对应的迭代方式也不一样，有以下两种方式：

左闭右闭[left, right]

左闭右开[left, right)

2. 例子

这是一个使用二分查找的例题

题目如下：

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例一：

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9 输出: 4 解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例二：

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2 输出: -1 解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：

你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。n 将在 [1, 10000]之间。nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

出自704. 二分查找 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

二分法的思想很简单，因为整个数组是有序的，数组默认是递增的。

首先选择数组中间的数字和需要查找的目标值比较如果相等最好，就可以直接返回答案了如果不相等如果中间的数字大于目标值，则中间数字向右的所有数字都大于目标值，全部排除如果中间的数字小于目标值，则中间数字向左的所有数字都小于目标值，全部排除

二分法就是按照这种方式进行快速排除查找的

tips:

不用去纠结数组的长度是奇数或者偶数的时候，怎么取长度的一半，以下说明，可以跳过。

当数组的长度为奇数的时候：

是奇数的情况很简单，指向中间的数字很容易理解，如果需要查找的数字为29

因为29大于中间的数字大于11，所以左边的所有数字全部排除

当数组的长度为偶数的时候：

这个时候中间的数字两边的数字数量就不一样了（刚开始学习二分法的时候我经常纠结这个问题，和另外一个长度除2得到的是最中间的数吗的问题，我相信不止我一个人纠结过……但其实这是同一个问题，每次长度除2，如果长度为奇数，得到的中间的数字两边数字数量相同，如果长度为偶数就为上图中间的数字两边的相差为 1）

但是千万不要一直纠结中间的数字两边的数字数量不一样这个问题，因为：

两边数量不一样是一定会出现的情况但是这种情况并不影响我们对中间数字和目标数字大小关系的判断只要中间数字大于目标数字，就排除右边的只要中间数字小于目标数字，就排除左边的

所以数组长度是偶数还是奇数这个真的不重要，不影响怎么排除的问题，无非是多排除一个数字或者少排除一个数字

真正影响的是中间那个数字到底该不该加入下一次的查找中，也就是边界问题 3. 第一种写法（左闭右闭）

二分法最重要的两个点：

while循环中 left 和 right 的关系，到底是 left //当left == right时，区间[left, right]仍然有效 int middle = left + ((right - left) / 2);//等同于 (left + right) / 2，防止溢出 if (nums[middle] > target) { right = middle - 1; //target在左区间，所以[left, middle - 1] } else if (nums[middle] //既不在左边，也不在右边，那就是找到答案了 return middle; } } //没有找到目标值 return -1; }

下面图解算法的实现过程，建议将代码复制到一个文本编辑器中，边看代码边看图。或者我直接准备了图片，保存下来打开看就好了。

首先看一个数组，需要对这个数组进行操作。需要对33进行查找的操作，那么target 的值就是33

首先，对 left 的值和 right 的值进行初始化，然后计算 middle 的值 left = 0, right = size - 1middle = (left + (right - left) / 2 )

比较 nums[middle] 的值和 target 的值大小关系

if (nums[middle] > target)，代表middle向右所有的数字大于targetif (nums[middle] < target)，代表middle向左所有的数字小于target既不大于也不小于就是找到了相等的值

nums[middle] = 13 < target = 33，left = middle + 1

见下图：

循环条件为 while (left //left target) { right = middle - 1; } else if (nums[middle] return middle; } } //没有找到目标值 return -1; }

代码图片，边看模拟过程边看代码哦！

好了，现在开始用图片模拟过程

初始化一个数组，计算 middle 的值

根据计算的 middle 值确定 nums[middle]

因为nums[middle] = 13 < target = 27，所以left = middle + 1

继续计算 middle 的值

因为 nums[middle] = 33 > target = 27，所以 right = middle - 1

接着计算 middle 的值

因为 nums[middle] = 22 < target = 27，此时 left = middle + 1，此时 left = right，而循环条件为while (left < right)，所以还未找到27 的情况下算法就跳出了循环，返回 -1

4. 第二种写法（左闭右开） 4.1 正向写法（正确演示）

第二种写法：每次查找的区间在 [left, right)，（左闭右开区间），根据区间的定义，条件控制应该如下：

循环条件使用while (left < right)if (nums[middle] > target)， right = middle，因为当前的 nums[middle] 是大于 target 的，不符合条件,不能取到 middle，并且区间的定义是 [left, right)，刚好区间上的定义就取不到 right, 所以 right 赋值为 middle。

代码如下：

int search(int nums[], int size, int target) { int left = 0; int right = size; //定义target在左闭右开的区间里，即[left, right) while (left right = middle; //target 在左区间，在[left, middle)中 } else if (nums[middle] return middle; } } // 没找到就返回-1 return -1; }

代码图片：保存下来边看代码边看图片演示过程