基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合(python语言实现)

1.移动最小二乘法

上篇论文采用最小二乘法来拟合曲线，如果离散数据量比较大，形状复杂，还需要分段拟合和平滑化，因此采用移动最小二乘法进行曲线拟合，可以克服上面的缺点，还具有一些优点； 移动最小二乘法与传统的最小二乘法相比，有两个比较大的改进：

（ 1）拟合函数的建立不同。这种方法建立拟合函数不是采用传统的多项式或其它函数，而是由一个系数向量 a(x)和基函数 p(x)构成， 这里 a(x)不是常数，而是坐标 x 的函数。 （ 2）引入紧支（ Compact Support）概念，认为点 x 处的值 y 只受 x 附近子域内节点影响，这个子域称作点 x 的影响区域， 影响区域外的节点对 x的取值没有影响。在影响区域上定义一个权函数w(x)， 如果权函数在整个区域取为常数， 就得到传统的最小二乘法。

参考自《基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合-曾清红》

2.拟合函数的建立

在拟合区域的一个局部子域上， 拟合函数 f (x)表示为： 式中 为待求系数，它是坐标x的函数。称为基函数。它是一个k阶完备的多项式，m是基函数的项数， 对于一维问题 ： 基函数可以为 p（x）=[1,x,x2,,,,xm][1,x,x2,,,,xm]

二维问题可以为： 线性基 p（x）=[1.x.y]T[1.x.y]T, m=3 二次基 p(x) =[1,x,y,x2,xy,y2]T[1,x,y,x2,xy,y2]T m=6

这是为在阅读文献时的疑惑，因为我解决的是一维问题，所以不需要二维的基函数。 在移动最小二乘近似中, 系数 ai(x)ai(x) 是通过令近似函数 u(x) 在点 x 的邻域 内各节点误差的加权平方和为最小来确定的 式中 n 为点 x 的邻域 内所包含的节点数.,w(x)=(x−xI)w(x)=(x−xI) 称为节点 xIxI 处的权函数, 它在节点 xI 周围的一个有限区域中大于零, 而在该区域外为零 . 权函数的定义表明, 只有在节点 xI 的影响域范围内的节点才对该点的近似函数产生影响.

这里对支撑域进行说明： 如图： 将整个x范围划分为若干个区域，每个区域包含若干个x点，那么并且规定其中一点为标准点，其他点为参考点。 参考点与标准点的距离作为权函数的参数。得出权重。

3.权函数

权函数在移动最小二乘法中起着非常重要的作用。移动最小二乘法中的权函数 w(x−xI)w(x−xI)应该具有紧支性，也就是权函数在 x 的一个子域内不等于零， 在这个子域之外全为零， 这个子域称为权函数的支持域(即 x 的影响区域)。一般选择圆形作为权函数的支持域(见图其半径记为 smaxsmax。 由于权函数的紧支性，只有这些包含在影响区域内的数据点对点 x 的取值有影响权函数 w(x−xI)w(x−xI)应该是非负的，并且随着||x−xi||2||x−xi||2 的增加单调递减。权函数还应具有一定的光滑性，因为拟合函数会继承权函数的连续性：如果权函数w(x−xI)w(x−xI)是 C1 阶连续的，则拟合函数也是 C1 阶连续的。常用的权函数是样条函数 4

3 法方程的推导 对于任意函数 h(x) 和 g(x), 引入记号：

那么： 公式4可以写为： 写成矩阵形式： 由上面的法方程, 解得 a(x). 然后求解得出A(x),B(x) 求解得出αα(x) 4.拟合流程 这里说明一下为什么要网格化，网格化主要是选取标准点，并以标准点来划分支撑域，确定支撑域半径和支撑域内的节点 x。 我仍然以上篇最小二乘法的数据点为例，通过代码编写移动最小二乘法的方法：