1.2.1 三角函数的定义教学设计(教案)

1.2.1　三角函数的定义 高中数学       人教B版2003课标版

高中数学教学设计

高中数学教学设计

 高中数学教学设计

课题

高中数学必修4 任意角的三角函数

作者及

工作单位

沈阳市第二十二中学   黄丽

教材分析

学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题。

本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数.由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的总是时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质中得到启发.三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用.

学情分析

学生对锐角三角函数比较熟悉，在角扩充到任意角后，引进象限角的概念，用角的终边上的点的坐标比表示锐角三角函数有一定困难。所在在定义任意角的三角函数之前，应做好铺垫。

学生首次接触单位圆，可能会感到不适，在教学中，要让学生体会到用单位圆上的点的坐标表示锐角三角函数，不仅简单、方便，而且反映本质。让学生体会数形结合的方便之处。

 教学目标

   1.借助单位圆能够理解任意角的三角函数的定义.

2.根据三角函数的定义能够理解其定义域、三角函数的符号及诱导公式一.

3.通过任意角的三角函数的学习，进一步体会函数思想和数形结合思想.

4.让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，获得“发现”的经验，培养合情猜测能力.

教学重点和难点

 【教学重点】

    任意角的正弦、余弦、正切的定义；三角函数值的符号.

【教学难点】

    用角的终边上的点的坐标刻画三角函数.

教学过程

问题

设计意图

师生活动

1.你能回忆一下锐角三角函数的定义吗？

 从原有的认知基础出发，来认识任意角的三角函数的定义.

教师提出问题，学生口头回答.然后教师画出直角三角形.

2.你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？

引导学生用人飘尘来研究锐角三角函数.

教师在直角三角形所在平面上建立适当的坐标系，画出角的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数.

3.改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？

说明这三个比值与终边上的点的位置无关.

先由学生回答，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明.

4.能否通过取适当点将表达式简化？

体现简约思想，并为引出单位圆奠定基础.

教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化.

5.定义单位圆.

6.给出任意角三角函数的定义.

7.你能解释一下定义中的对应关系吗？

通过对对应关系的分析，深化对定义的理解.

教师引导学生分析三解函数的定义中自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么.

8.例1 例2 练习1，2

通过例题和练习加深对定义的理解.

先通过讨论确定利用定义解题的思路，然后由学生自主完成例1及练习第1题.通过讨论，确定将任意点转化到单位圆上的点的解题思路，再完成例2及练习第2题.

9.通过例2的学习，你有什么体会？

通过比较两种定义，让学生体会利用单位圆定义不仅简洁且有一般意义.

教师留给学生一定的时间，学生独立思考并回答.明确可以用角终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数，但用单位圆上的点的坐标来定义，既不失一般性，而且简单，更容易看清对应关系.

10.引进一个新的函数，一般可以对哪些问题进行讨论？

明确研究思路.

教师提出问题，并引导学生回顾数学1中关于函数学习的经验，得出需要对定义域、值域、单调性等进行讨论.

11.请完成第13页的“探究”

初步学习从定义出发研究三角函数的有关问题的思想方法.

教师注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得出定义域、函数值的符号等结论.

12.三个函数在坐标轴上的取值情况怎样（练习3）

对特殊发型进行研究，体会数形结合的思想方法.

教师提出问题，学生自主探究，教师特别应向学生指出，研究特殊情形对认识三角函数的意义.

13.例3，练习6

通过例题和练习巩固对三角函数概念的理解.

先分析思路，由学生作出解答，师生共同对解答进行反思，纠正差错，再由学生独立完成练习.

14.我们知道，终边相同的角相差2π的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系？为什么？

发现和证明公式一，并从中体会三角函数值有“周而复始”的变化规律.

教师引导学生从角的终边关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论，然后再用三角函数的定义证明.

15.例4、5，练习4、5、7

通过例题和练习巩固公式一的理解.

先由学生独立完成例题、练习，教师作适当指导.

16.小结与作业

对学习过程进行反思，对讨论问题的思想方法进行总结.

先让学生自己总结.教师在学习总结的基础上进行再概括时，应当注意思想性，例如在得出用单位圆上的点的坐标定义三角函数的过程中体现的化归思想，用一般的函数概念指导三角函数研究的思想等等.

板书设计

1.2.1任意角的三角函数

1.任意角的三角函数的定义

2.三角函数的定义域、值域

例1

例2

3.三角函数值的符号

例3

4.诱导公式（一）

例4

5.小结：

6.作业：

学生自我评价的几个方面

听课时：

                     1.边听边思考。                      2.积极争取回答老师提出的每个问题。 

                     3.只听老师讲的最精彩的地方。

                     4.边听边作笔记。                      5.有时开点小差，或做其它作业。

做作业时：

                     6.独立思考，按时完成。 

                     7.书写工整，讲究格式。 

                     8.没有检查不交。

                     9.错题弄清错因，独立订正。 

                    10.有时拖拉或经常拖拉。

遇到疑难：

　　　　　　        11.相信自己可以解答。 

　　　　　          12.自己实于请教同学或老师。             　　    13.心里烦躁，想听别人的答案。

　　　　　　        14.不做任何考虑，反正自己不会。

其它部分：          15.课前准备充分。

         16.对新学的内容，做到先预习。 

17.对已学的知识常抽时间复习。 

                   18.学习注重理解，不死记硬背。

                    19.不满足自己取得的成绩。                      20.对老师或书中的某些知识敢于提出自己的见解。                     21做题目喜欢追求多种方法，且以找到简便方法为快。

1.2.1　三角函数的定义

1.2.1　三角函数的定义

高中数学教学设计

高中数学教学设计

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课题

高中数学必修4 任意角的三角函数

作者及

工作单位

沈阳市第二十二中学   黄丽

教材分析

学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题。

本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数.由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的总是时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质中得到启发.三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用.

学情分析

学生对锐角三角函数比较熟悉，在角扩充到任意角后，引进象限角的概念，用角的终边上的点的坐标比表示锐角三角函数有一定困难。所在在定义任意角的三角函数之前，应做好铺垫。

学生首次接触单位圆，可能会感到不适，在教学中，要让学生体会到用单位圆上的点的坐标表示锐角三角函数，不仅简单、方便，而且反映本质。让学生体会数形结合的方便之处。

 教学目标

   1.借助单位圆能够理解任意角的三角函数的定义.

2.根据三角函数的定义能够理解其定义域、三角函数的符号及诱导公式一.

3.通过任意角的三角函数的学习，进一步体会函数思想和数形结合思想.

4.让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，获得“发现”的经验，培养合情猜测能力.

教学重点和难点

 【教学重点】

    任意角的正弦、余弦、正切的定义；三角函数值的符号.

【教学难点】

    用角的终边上的点的坐标刻画三角函数.

教学过程

问题

设计意图

师生活动

1.你能回忆一下锐角三角函数的定义吗？

 从原有的认知基础出发，来认识任意角的三角函数的定义.

教师提出问题，学生口头回答.然后教师画出直角三角形.

2.你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？

引导学生用人飘尘来研究锐角三角函数.

教师在直角三角形所在平面上建立适当的坐标系，画出角的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数.

3.改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？

说明这三个比值与终边上的点的位置无关.

先由学生回答，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明.

4.能否通过取适当点将表达式简化？

体现简约思想，并为引出单位圆奠定基础.

教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化.

5.定义单位圆.

6.给出任意角三角函数的定义.

7.你能解释一下定义中的对应关系吗？

通过对对应关系的分析，深化对定义的理解.

教师引导学生分析三解函数的定义中自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么.

8.例1 例2 练习1，2

通过例题和练习加深对定义的理解.

先通过讨论确定利用定义解题的思路，然后由学生自主完成例1及练习第1题.通过讨论，确定将任意点转化到单位圆上的点的解题思路，再完成例2及练习第2题.

9.通过例2的学习，你有什么体会？

通过比较两种定义，让学生体会利用单位圆定义不仅简洁且有一般意义.

教师留给学生一定的时间，学生独立思考并回答.明确可以用角终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数，但用单位圆上的点的坐标来定义，既不失一般性，而且简单，更容易看清对应关系.

10.引进一个新的函数，一般可以对哪些问题进行讨论？

明确研究思路.

教师提出问题，并引导学生回顾数学1中关于函数学习的经验，得出需要对定义域、值域、单调性等进行讨论.

11.请完成第13页的“探究”

初步学习从定义出发研究三角函数的有关问题的思想方法.

教师注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得出定义域、函数值的符号等结论.

12.三个函数在坐标轴上的取值情况怎样（练习3）

对特殊发型进行研究，体会数形结合的思想方法.

教师提出问题，学生自主探究，教师特别应向学生指出，研究特殊情形对认识三角函数的意义.

13.例3，练习6

通过例题和练习巩固对三角函数概念的理解.

先分析思路，由学生作出解答，师生共同对解答进行反思，纠正差错，再由学生独立完成练习.

14.我们知道，终边相同的角相差2π的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系？为什么？

发现和证明公式一，并从中体会三角函数值有“周而复始”的变化规律.

教师引导学生从角的终边关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论，然后再用三角函数的定义证明.

15.例4、5，练习4、5、7

通过例题和练习巩固公式一的理解.

先由学生独立完成例题、练习，教师作适当指导.

16.小结与作业

对学习过程进行反思，对讨论问题的思想方法进行总结.

先让学生自己总结.教师在学习总结的基础上进行再概括时，应当注意思想性，例如在得出用单位圆上的点的坐标定义三角函数的过程中体现的化归思想，用一般的函数概念指导三角函数研究的思想等等.

板书设计

1.2.1任意角的三角函数

1.任意角的三角函数的定义

2.三角函数的定义域、值域

例1

例2

3.三角函数值的符号

例3

4.诱导公式（一）

例4

5.小结：

6.作业：

学生自我评价的几个方面

听课时：

                     1.边听边思考。                      2.积极争取回答老师提出的每个问题。 

                     3.只听老师讲的最精彩的地方。

                     4.边听边作笔记。                      5.有时开点小差，或做其它作业。

做作业时：

                     6.独立思考，按时完成。 

                     7.书写工整，讲究格式。 

                     8.没有检查不交。

                     9.错题弄清错因，独立订正。 

                    10.有时拖拉或经常拖拉。

遇到疑难：

　　　　　　        11.相信自己可以解答。 

　　　　　          12.自己实于请教同学或老师。             　　    13.心里烦躁，想听别人的答案。

　　　　　　        14.不做任何考虑，反正自己不会。

其它部分：          15.课前准备充分。

         16.对新学的内容，做到先预习。 

17.对已学的知识常抽时间复习。 

                   18.学习注重理解，不死记硬背。

                    19.不满足自己取得的成绩。                      20.对老师或书中的某些知识敢于提出自己的见解。                     21做题目喜欢追求多种方法，且以找到简便方法为快。