数学篇16

设函数 u=u(x) 及 v=v(x)具有连续导数,则两个函数乘积的导数公式为

(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime} \Rightarrow u v^{\prime}=(u v)^{\prime}-u^{\prime} v \\

对这个等式两边求不定积分,得

\int u v^{\prime} d x=u v-\int u^{\prime} v \mathrm{~d} x \\

为简便起见

\int u \mathrm{~d} v=u v-\int v \mathrm{~d} u \\

【摆语】如果求\int u v^{\prime} \mathrm{d} x有困难,而求\int u^{\prime} v \mathrm{~d} x比较容易时,分部积分公式就可以发挥作用了

1. 求 \int x \cos x d x

解:这个积分用换元积分法不易求得结果,现在试用分部积分法来求它,但是怎样选取 u 和 \mathrm{d} v 呢?

设u=x,d v=\cos x d x, 则 d u=d x,v=\sin x, 代人分部积分公式, 可得

x \int \cos x d x=x \sin x-\sin \int x d x \\

而\int v \mathrm{~d} u=\int \sin x \mathrm{~d} x 容易积出,所以

x \int \cos x d x=x \sin x+\cos x+C \\

求这个积分时,如果设 u=\cos x, d v=x d x,则

d u=-\sin x d x, v=\frac{x^{2}}{2} \\

所以

x \int \cos x d x=\frac{x^{2}}{2} \cos x+\frac{x^{2}}{2} \int \sin x d x \\

【注】由此可见,如果u和\mathrm{d} v选取不当,就求不出结果,所以应用分部积分法时,恰当选取u和 \mathrm{d} v 是一个关键.选取u和 \mathrm{d} v 一般受考虑下面两点:

(1)v要容易求得

(2) \int v \mathrm{~d} u 要比 \int u \mathrm{~d} v 容易求出

2. 求 \int x^{2} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x

解: 设 u=x^{2}, \mathrm{~d} v=\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{x}\right),则

\int x^{2} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\int x^{2} \mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^{x}\right)\\=x^{2} \mathrm{e}^{x}-\int \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d}\left(x^{2}\right)=x^{2} \mathrm{e}^{x}-2 \int x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x \\

于是

\int x^{2} e^{x} d x=x^{2} e^{x}-2 \int x e^{x} d x\\=x^{2} e^{x}-2 \int x d\left(e^{x}\right)=x^{2} e^{x}-2\left(x e^{x}-e^{x}\right)+C\\=e^{x}\left(x^{2}-2 x+2\right)+C \\

3.求 \int \arccos x d x

解: 设 u=\arccos x, d v=d x, 则

\int \arccos x d x=\operatorname{xarccos} x-\int x d(\arccos x)\\=x \arccos x+\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \\=x \arccos x-\frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} d\left(1-x^{2}\right)\\=x \arccos x-\sqrt{1-x^{2}}+C \\

在分部积分法运用比较熟练以后,就不必再写出哪一部分选作u, 哪一部分选作 \mathrm{d} v，直接解题即可

【摆语】如果被积函数是幂函数和对数函数或需函数和反三角函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设对数函数或反三角函数u

4. 求 \int e^{x} \sin x d x

分析：这题很经典

解:依题意可得：

\int e^{x} \sin x d x=\int \sin x d\left(e^{x}\right)\\=e^{x} \sin x-\int e^{x} \cos x d x \\

等式右端的积分与等式左端的积分是同一类型的.对右端的积分再用一次分部积分法,得

\int e^{x} \sin x d x=e^{x} \sin x-\int \cos x d\left(e^{x}\right)=e^{x} \sin x-e^{x} \cos x-\int e^{x} \sin x d x \\

由于上式右端的第三项就是所求的积分r e^{x} \sin \int x d x把它移到等号左端去,等式两端再同除以2,便得

\int e^{x} \sin x d x=\frac{1}{2} e^{x}(\sin x-\cos x)+C \\

因上式右端已不包含积分项,所以必须加上任意常数C.

往期知识点

列1

1.映射

4.函数极限性质

7.极限存在准则

10.微分中值定理

13.曲率

列2

2.函数特性

5.连续性与间断点

8.高阶导|莱布尼茨

11.洛必达法则

14.不定积分理解

列3

3.数列收敛

6.最值|介值|零点

9.参数与隐函数

12.泰勒公式

15.换元积分法