数学表达式: 从恐惧到单挑 (2. 集合的表示与运算)

2023-08-13 11:10| 来源: 网络整理| 查看: 265

2. 集合的表示与运算集合论是数学的基础, 更是计算机的基础.这次不玩集合悖论.集合元素无序.默认情况下, 集合元素不可重 (组合数学中有可重集的概念). 2.1 集合的表示

枚举法 A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \mathbf{A} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 是阿拉伯数字的集合. N = { 0 , 1 , 2 , … } \mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots \} N={0,1,2,…} 是自然数的集合. Ω = { a , b , … , z } \mathbf{\Omega} = \{\textrm{a}, \textrm{b}, \dots, \textrm{z}\} Ω={a,b,…,z} 是英文字母表, 我故意把字母写成非斜体的, 表示不是变量. 未加 $ 符号的表达式为 \mathbf{\Omega} = {\textrm{a}, \textrm{b}, \dots, \textrm{z}}. 有时 \Omega 之外没有加 \mathbf, 作为希腊字母影响没有英文字母的大.

向量、集合等，可以用粗体 \mathbf{x} ( x \mathbf{x} x), \bm{x} ( x \bm{x} x), \boldsymbol{x} ( x \boldsymbol{x} x). 全文统一即可. 西瓜书用的应该是 mathbf.

枚举法的几种简记

如果是两个整数之间的枚举集合, 可以使用简记 [ 1..10 ] = { 1 , 2 , … , 10 } [1..10] = \{1, 2, \dots, 10\} [1..10]={1,2,…,10}, 也可以使用变量如 [ i . . j ] [i..j] [i..j]. 注意这里是两个点, 而不是 3 个点的 \dots. 注意, 这里两个点多见于 Pascal 语言. 更多内容见 https://baike.baidu.com/item/区间/1273117.开区间 (3, 5) 表示大于 3, 小于 5 的所有实数. 闭区间 [3, 5] 表示大于或等于 3, 小于或等于 5 的所有实数. 这是基础数学的内容, 不仅限于离散数学的范畴. X = { x i } i = 1 n = { x 1 , x 2 , … , x n } \mathbf{X} = \{x_i\}_{i = 1}^n = \{x_1, x_2, \dots, x_n\} X={xi}i=1n={x1,x2,…,xn} 表示集合有 n n n 个元素. 式子源码为 \mathbf{X} = \{x_i\}_{i = 1}^n = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}. 不写 x_2 其实也没有影响.

谓词法奇数的集合可表示为 O = { x ∣ x ∈ N , x m o d 2 = 1 } = { x ∈ N ∣ x m o d 2 = 1 } \mathbf{O} = \{x | x \in \mathbb{N}, x \mod 2 = 1\} = \{x \in \mathbb{N}∣x \mod 2 = 1\} O={x∣x∈N,xmod2=1}={x∈N∣xmod2=1}. 第一种表示法最基础, 将元素形式放在竖线左边, 元素满足的条件放在竖线右边. 第二种表示法较常用, 将基本限制放在竖线左边, 提升颜值.

常用集合实数 R \mathbb{R} R: 源码 \mathbb{R}. 有的地方也写成 R \mathcal{R} R \mathcal{R}, 总觉得没这个好看. 有理数 Q \mathbf{Q} Q: 源码 \mathbf{Q}.

平凡子集空集 ∅ \emptyset ∅, 源码: \emptyset. 如果写成 ϕ \phi ϕ (源码: \phi) 就错了. 全集 (universe) U \mathbf{U} U, 这个一般在离散数学中使用.

2.2 元素与子集 x ∈ X x \in \mathbf{X} x∈X 表示元素与集合的关系. 源码: x \in \mathbf{X}. A ⊆ B \mathbf{A} \subseteq \mathbf{B} A⊆B 表示集合与集合之间的关系. 源码: \mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}. 2.3 集合的运算集合的基数 ∣ X ∣ \vert \mathbf{X} \vert ∣X∣ 是指 X \mathbf{X} X 中元素个数, 其源码为 \vert \mathbf{X} \vert 或者 |\mathbf{X}|, 其实我也不清楚 \vert 和竖线的效果有什么区别. ∣ ∅ ∣ = 0 \vert \emptyset \vert = 0 ∣∅∣=0.并 X ∪ Y \mathbf{X} \cup \mathbf{Y} X∪Y 表示两个集合的并. 源码为 \mathbf{X} \cup \mathbf{Y}. ⋃ i = 1 n X i \bigcup_{i = 1}^n \mathbf{X}_i ⋃i=1nXi 表示 n n n 个集合的并. 源码为 \bigcup_{i = 1}^n \mathbf{X}_i. 其方式与 ∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 \sum_{i = 1}^n i = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2} ∑i=1ni=1+2+⋯+n=2n(n+1) 一致. 源码为 \sum_{i = 1}^n i = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}.交 X ∩ Y \mathbf{X} \cap \mathbf{Y} X∩Y 表示两个集合的交. 源码为 \mathbf{X} \cap \mathbf{Y}. cup (杯子) 与 cap (帽子), 果然很形象. ⋂ i = 1 n X i \bigcap_{i = 1}^n \mathbf{X}_i ⋂i=1nXi 表示 n n n 个集合的交. 源码为 \bigcap_{i = 1}^n \mathbf{X}_i.差 X ∖ Y \mathbf{X} \setminus \mathbf{Y} X∖Y 表示两个集合的差. 源码为 \mathbf{X} \setminus \mathbf{Y}. 一看 setminus 就知道是专门为集合设计的. 有些人喜欢用减号, 就显得不够专业了.补 X ‾ = U ∖ X \overline{\mathbf{X}} = \mathbf{U} \setminus \mathbf{X} X=U∖X 表示 X \mathbf{X} X 的补集, 这里 U \mathbf{U} U 为全集. 源码为 \overline{\mathbf{X}} = \mathbf{U} \setminus \mathbf{X}. 有时候式子复杂了用 overline 比较难看, 也可以使用 ¬ X \neg \mathbf{X} ¬X, 源码 \neg \mathbf{X}. 但 \neg 是逻辑运算的符号, 表示"非", 只能是凑合用吧. 2.4 幂集

幂集 (power set) 表示为: 2 A = { B ∣ B ⊆ A } 2^{\mathbf{A}} = \{\mathbf{B} \vert \mathbf{B} \subseteq \mathbf{A}\} 2A={B∣B⊆A}, 源码: 2^{\mathbf{A}} = \{\mathbf{B} \vert \mathbf{B} \subseteq \mathbf{A}\}. 例: A = { 0 , 1 , 2 } \mathbf{A} = \{0, 1, 2\} A={0,1,2}, 则 2 A = { ∅ , { 0 } , { 1 } , { 2 } , { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 1 , 2 } , { 0 , 1 , 2 } } 2^{\mathbf{A}} = \{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \{2\}, \{0, 1\}, \{0, 2\}, \{1, 2\}, \{0, 1, 2\}\} 2A={∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}. 可以数一下 ∣ 2 A ∣ = 2 ∣ A ∣ = 2 3 = 8 \vert 2^{\mathbf{A}} \vert = 2^{\vert \mathbf{A} \vert} = 2^3 = 8 ∣2A∣=2∣A∣=23=8. 源码: \vert 2^{\mathbf{A}} \vert = 2^{\vert \mathbf{A} \vert} = 2^3 = 8. 从基本的组合数学知识可知, 一个集合元素 n n n 个元素要么选, 要么不选, 相当于 n n n 位二进制数, 所以有 2 n 2^n 2n 种可能. 这也是幂集的来由.

B ⊆ A \mathbf{B} \subseteq \mathbf{A} B⊆A 与 B ∈ 2 A \mathbf{B} \in 2^{\mathbf{A}} B∈2A 等价, 后者看起来把简单问题复杂化, 但在一些特殊情况下有用.一般而言, 只讨论有穷集的幂集. 如果你闲得慌, 可以思考下 ∣ 2 N ∣ = ∣ R ∣ \vert 2^{\mathbb{N}} \vert = \vert \mathbb{R} \vert ∣2N∣=∣R∣, 即 2 的可数无穷次方为一阶不可数无穷. 2.5 笛卡尔积

笛卡尔积表示为 A × B = { ( a , b ) ∣ a ∈ A , b ∈ B } \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \{(a, b) \vert a \in \mathbf{A}, b \in \mathbf{B}\} A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}. 源码 \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \{(a, b) \vert a \in \mathbf{A}, b \in \mathbf{B}\}.

相当于一个集合出一个元素, 组成一个新的元素对.元素对是有序的, ( a , b ) ≠ ( b , a ) (a, b) \ne (b, a) (a,b)=(b,a), 因此 A × B ≠ B × A \mathbf{A} \times \mathbf{B} \ne \mathbf{B} \times \mathbf{A} A×B=B×A. 源码 \mathbf{A} \times \mathbf{B} \ne \mathbf{B} \times \mathbf{A}. 其中, \ne 是 not equal 的简写, 也可写成 \neq. ∅ × B = ∅ \emptyset \times \mathbf{B} = \emptyset ∅×B=∅, 因为空集没法出元素.对于有穷集合 (咱们做计算的就别再去想无穷了) ∣ A × B ∣ = ∣ A ∣ × ∣ B ∣ \vert \mathbf{A} \times \mathbf{B} \vert = \vert \mathbf{A} \vert \times \vert \mathbf{B} \vert ∣A×B∣=∣A∣×∣B∣. 当这两个元素有一个为空集是, 本式也成立.一维数据所在的空间为 R \mathbb{R} R, 二维数据的空间为 R × R = R 2 \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 R×R=R2, 三维数据的空间为 R 3 \mathbb{R}^3 R3, n n n 维数据的 R n \mathbb{R}^n Rn. 2.6 作业令 A = { 3 , 5 } \mathbf{A} = \{3, 5\} A={3,5}, 写出 2 A 2^{\mathbf{A}} 2A.展开 2 ∅ 2^{\emptyset} 2∅.令 A = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \mathbf{A} = \{5, 6, 7, 8, 9\} A={5,6,7,8,9}, 写出 A \mathbf{A} A 的其它两种表示法.使用 markdown 模式写 CSDN 贴子, 根据提供的源码将相应表达式写出来. 提示: markdown 模式写表达式的源码与 Latex 比较一致 (估计就是从后者学习的), 仅在少数地方不同. 这里抄会了, 就为以后写论文就扫除了重要障碍.

【本文地址】

公司简介

联系我们