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绝对值是初一数学的一个重要知识点,它的概念本身不难,但却经常拿来出一些难题,考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义: (1)代数意义:非负数(包括零)的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数。 即|a|=a(当a≥0) , |a|=-a (当a<0) (2)几何意义:一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质: (1)|a|≥0;(2)|ab|=|a|·|b|;(3)|a/b|=|a|/|b|(b≠0) (4)|a|-|b|≤ |a+b|≤|a|+|b|;(5)|a|-|b|≤ |a-b|≤|a|+|b|; 思考:|a+b|=|a|+|b|,在什么条件下成立? |a-b|=|a|-|b|,在什么条件下成立? 常用解题方法: (1)化简绝对值:分类讨论思想(即取绝对值的数为非负数和负数两种情况) (2)运用绝对值的几何意义:数形结合思想,如绝对值最值问题等。 (3)零点分段法:求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析: 第一类:考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示,并且已知表示c的点在原点左侧,请化简下列式子: (1)|a-b|-|c-b|解:∵a<0,b>0 ∴a-b<0 c<0,b>0 ∴c-b<0 故,原式=(b-a)-(b-c) =c-a (2)|a-c|-|a+c| 解:∵a<0,c<0 ∴ a+c<0,但是a-c 要分类讨论 当a-c≥0时,a≥c,原式=(a-c)+(a+c)=2a 当a-c<0时,a<c,原式=(c-a)+(a+c)=2c 2、设x<-1,化简2-|2-|x-2|| 。 解:∵x<-1 ∴x-2<0 原式=2-|2-(2-x)|=2-|x|=2+x 3、设3<a<4,化简|a-3|+|a-6| 。 解:∵3<a<4 ∴a-3>0,a-6<0 原式=(a-3)-(a-6) =3 4、已知|a-b|=a+b,则以下说法:(1)a一定不是负数;(2)b可能是负数;哪个是正确的? 答:当a-b≥0时,a≥b,|a-b|=a-b,由已知|a-b|=a+b,得a-b=a+b, 解得b=0,这时a≥0; 当a-b<0时,a<b,|a-b|=b-a,由已知|a-b|=a+b,得b-a=a+b, 解得a=0,这时b>0; 综上所述,(1)是正确的。 第二类:考察对绝对值基本性质的运用 5、已知2011|x-1|+2012|y+1|=0,求x+y+2012的值? 解:∵|x-1|≥0,|y+1|≥0 ∴2011|x-1|+2012|y+1|≥0 又∵已知2011|x-1|+2012|y+1|=0,∴|x-1|=0, |y+1|=0 ∴x=1,y=-1,原式=1-1+2012=2012 6、设a、b同时满足: (1)|a-2b|+|b-1|=b-1 (2) |a-4|=0 那么ab等于多少? 解:∵|a-2b|≥0,|b-1|≥0 ∴|a-2b|+|b-1|=b-1≥0 ∴ (1)式=|a-2b|+b-1=b-1 ,得|a-2b|=0,即a=2b ∵ |a-4|=0 ∴ a-4=0,a=4 ∵ a=2b ∴ b=2 ,ab=4×2=8 7、设a、b、c为非零有理数,且|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0, 请化简:|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c| 。 解:∵|a|+a=0,a≠0 ∴a<0 ∵|ab|=ab≥0 ,b≠0,a<0 ∴b<0,a+b<0 ∵|c|-c=0,c≠0 ∴c>0 ,c-b>0,a-c<0 ∴原式=b+(a+b)-(c-b)+c-a=b 8、满足|a-b|+ab=1的非负整数(a,b)共有几对? 解:∵a,b都是非负整数 ∴|a-b|也是非负整数,ab也是非负整数 ∴要满足|a-b|+ab=1,必须|a-b|=1,ab=0 或者|a-b|=0,ab=1 分类讨论: 当|a-b|=1,ab=0时,a=0,b=1 或者 a=1,b=0 有两对(a,b)的取值; 当|a-b|=0,ab=1时,a=1,b=1有一对(a,b)的取值; 综上所述,(a,b)共有3对取值满足题意。 9、已知a、b、c、d是有理数,|a-b|≤9,|c-d|≤16,且|a-b-c+d|=25, 求|b-a|-|d-c|的值? 分析:此题咋一看无从下手,但是如果把a-b和c-d分别看作一个整体,并且运用绝对值基本性质:|x-y|≤|x|+|y|即可快速解出。 解:设x=a-b,y=c-d,则|a-b-c+d|=|x-y|≤|x|+|y| ∵|x|≤9,|y|≤16 ∴|x|+|y|≤25 ,|x-y|≤|x|+|y|≤25 ∵已知|x-y|=25 ∴|x|=9,|y|=16 ∴|b-a|-|d-c|=|-x|-|-y|=|x|-|y|=9-16=-7 第三类:多个绝对值化简,运用零点分段法,分类讨论 以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法,其步骤是:求零点、分段、区段内化简、综合。 根据以上材料解决下列问题: (1) 化简:2|x-2|-|x+4| (2) 求|x-1|-4|x+1|的最大值。 解:(1)令x-2=0,x+4=0,分别求得零点值:x=2,x=-4,分区段讨论: 当x≤-4时,原式=-2(x-2)+(x+4)=-x+8 当-4<x≤2时,原式=-2(x-2)-(x+4)=-3x 当x>2时,原式=2(x-2)-(x+4)=x-8 综上讨论,原式=…(略) (2)使用“零点分段法”将代数式简化,然后在各个取值范围内求出最大值,再加以比较,从中选出最大值。 令x-1=0,x+1=0,分别求得零点值:x=1,x=-1,分区段讨论: 当x≤-1时,原式=-(x-1)+4(x+1)=3x+5 ,当x=-1时,取到最大值等于2; 当-1<x≤1时,原式=-(x-1)-4(x+1)=-5x-3,此时无最大值; 当x>1时,原式=(x-1)-4(x+1)=-3x+3,此时无最大值。 综上讨论,当x=-1时,原式可以取到最大值等于2。 11、若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,则此常数的值为多少? 解:我们知道,互为相反数的两个数,它们的绝对值相等,利用这条性质,可以把绝对值内带x的项的符号由负号都变成正号,便于在区段内判断代数式的正负。 即原式=2x+|5x-4|+|3x-1|+4 令5x-4=0,3x-1=0,分别求得零点值:x=4/5 , x=1/3,分区段讨论: 当x≤1/3时,原式=2x-(5x-4)-(3x-1)+4=-6x+9,此时不是恒值; 当1/3<x≤4/5时,原式=2x-(5x-4)+(3x-1)+4=7,此时恒为常数7; 当x>4/5时,原式=2x+(5x-4)+(3x-1)+4=10x-1,此时也不是恒值。 综上所述,若原式恒为常数,则此常数等于7 。 12、若|a|=a+1,|x|=2ax,且|x+1|+|x-5|+2|x-m|的最小值是7,则m等于多少? 解:∵当a≥0时,|a|=a=a+1,得到0=1矛盾 ∴a<0,|a|=-a=a+1,解得a=-1/2。 ∵|x|=2ax=-x,即x的绝对值等于它的相反数 ∴x≤0 令x+1=0,x-5=0,x-m=0,分别求得零点值:x=-1,x=5,x=m ∵x≤0 ∴要对m进行分类讨论,以确定分段区间: (1)若m≥0,则x取值范围分成x≤-1和-1<x≤0 当x≤-1,原式=-(x+1)-(x-5)-2(x-m)=-4x+4+2m, x=-1时取到最小值8+2m; 当-1<x≤0,原式=(x+1)-(x-5)-2(x-m)=-2x+6+2m, x=0时取到最小值6+2m; 所以当m≥0时,最小值是6+2m,令6+2m=7,得m=0.5,符合题意 (2)若-1≤m<0,则x取值范围分成x≤-1和-1<x≤m和m<x≤0 当x≤-1,原式=-(x+1)-(x-5)-2(x-m)=-4x+4+2m, x=-1时取到最小值8+2m,因为-1≤m<0,所以最小值≥6; 当-1<x≤m,原式=(x+1)-(x-5)-2(x-m)=-2x+6+2m, x=m时取到最小值6; 所以当-1≤m<0时,最小值是6,和题意不符。 (3) 若m<-1,则x取值范围分成x≤m和m<x≤-1和-1<x≤0 当x≤m,原式=-(x+1)-(x-5)-2(x-m)=-4x+4+2m, x=m时取到最小值4-2m; 当m<x≤-1,原式=-(x+1)-(x-5)+2(x-m)=4-2m,这时为恒值4-2m; 当-1<x≤0,原式=(x+1)-(x-5)+2(x-m)=2x-2m+6,无最小值; 所以当m<-1时,最小值是4-2m,令4-2m =7,得m=-1.5,符合题意 综上所述,m=0.5或-1.5 。 第四类:运用绝对值的几何意义解题 理解1、x的绝对值的几何意义是在数轴上表示 x的点到原点的距离,即|x|=|x-0| |x-1|的几何意义是在数轴上表示 x的点到表示1的点的距离, |x+2|的几何意义是在数轴上表示 x的点到表示-2的点的距离, |a-b|的几何意义是在数轴上表示 a的点到表示b的点的距离。 理解2、设A和B是数轴上的两个点,X是数轴上一个动点,我们研究下,当X在什么位置时,X到A点和B点的距离之和最小?很显然,当X点在A点和B点之间时,X点到两个点的距离之和最小,最小值即为A点到B点的距离。当再增加一个C点时,如何求动点X到三个点的距离之和的最小值呢?不难发现,当X点和最中间的点重合时,它到三个点的距离之和最小,最小值也是A点到B点的距离。继续推论下去,我们可以得到结论:如果有偶数个点,当动点处在最中间的两个点之间时,它到所有点的距离之和最小。如果有奇数个点,当动点处在最中间那个点的位置时,它到所有点的距离之和最小。用一句话来记忆就是:奇中偶范。即有奇数个点时,取最小值是在最中间的点。偶数个点时,取最小值是在最中间的两个点之间的范围内都可以。 13、点A、B的数轴上分别对应的数为a、b,则A、B两点间的距离表示为|AB|=|a-b|。根据以上知识解题: (1)表示x的点和-1的两点A和B之间的距离是 ,如果|AB|=2,那么x为 。 (2)若|x+1|+|x-2|取最小值,相应的x的取值范围是 ,此时最小值是 。 (3)若|x+1|+|x-2|+|x-3|取最小值,相应的x的取值范围是 ,此时最小值是 。 (4) 设a<b<c <d,则 |x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值为 。 答:(1)A点和B点的距离是|x-(-1)|=|x+1|,如果|AB|=2,说明x点在-1点的左右两边并且距离-1点两个单位长度,所以x=-3或1。 (2)|x+1|+|x-2|可以理解为x点分别到表示-1的点和2的点的距离之和,当x点在两个点之间时,即-1≤x≤2时,距离之和取最小值,此时为-1到2的距离,等于3。 (3)同理可以理解为x点分别到表示-1,2,和3的点的距离之和,由奇中偶范的结论可知,当取中间点即x=2时,它有最小值等于4。(即表示-1的点到表示3的点的距离) (4)同理,一共有4个点,所以x的取值范围是b≤x≤c,最小值是d-a+c-b 。 14、若|x+2|+|x-4|≥a恒成立,则a的取值范围为 。 答:因为|x+2|+|x-4|≥6,所以当a ≤6时,|x+2|+|x-4|≥a恒成立。 15、已知有理数x满足|x+4|+|x-9|=13,求|x-4|+|x-8|的最大值? 答:因为|x+4|+|x-9|≥13,当-4≤x≤9时,|x+4|+|x-9|=13。|x-4|+|x-8|的几何意义是数轴上表示x的点到表示4的点和8的点的距离之和,x点离4和9越远,它们之间的距离之和就越大,所以当x=-4时,|x-4|+|x-8|取最大值20。 16、已知|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|,求x+y的最大值与最小值? 答:对原式进行移项,整理可得|x+2|+|1-x|+|y-5|+|1+y|=9。 因为|x+2|+|1-x|≥3,|y-5|+|1+y|≥6,只有当x+2|+|1-x|和|y-5|+|1+y|都取最小值时,上面等式才成立,即-2≤x≤1,-1≤y≤5,所以x+y的最大值为1+5=6,最小值为-2-1=-3。
练习题: 1、已知|x|≤1,|y|≤2,且k=|x+y|+|y+2|+|2y-x-6|,求k的最大值和最小值? 2、如果a、b、c、d为互不相等的有理数,且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1,那么|a-d|等于多少? 3、求| x-1|+| x-2|+| x-3|+…+| x-2015|的最小值。 4、已知有理数a、b满足|b+1|-|1-a|=|a-b|,则a、b、-1之间的大小关系可以是 。 5、数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c,且|c-1|-|a-1|=|a-c|,若下列选项中,有一个表示A、B、C三点在数轴上的位置关系,则选项为( )。 (完) |
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