泰勒公式及应用翻译(原文)

On Taylor’s formula for the resolvent of a complex matrix

Matthew X. He

a

, Paolo E. Ricci 

b

,

_

Article history:Received 25 June 2007 

Received in revised form 14 March 2008 

Accepted 25 March 2008 

Keywords: 

Powers of a matrix 

Matrix invariants 

Resolvent 

1. Introduction 

As 

a 

consequence 

of 

the 

Hilbert 

identity 

in 

[

1

], 

the 

resolvent 

)

(

A

R



= 

1

)

(







A



of a nonsingular square matrix ( denoting the identity matrix) is shown to 

be an analytic function of the parameter 

in any domain D with empty intersection 

with the spectrum 



A

of . Therefore, by using Taylor expansion in a neighborhood 

of any fixed 

D



0



, we can find in [

1

] a representation formula for 

)

(

A

R



using 

all powers of 

)

(

0

A

R



. 

In this article, by using some preceding results recalled, e.g., in [

2

], we write down 

a representation formula using only a finite number of powers of 

)

(

0

A

R



. This seems 

to 

be 

natural 

since 

only 

the 

first 

powers 

of 

)

(

0

A

R



are 

linearly 

independent.The 

main 

tool 

in 

this 

framework 

is 

given 

by 

the 

multivariable 

polynomials 

)

,...,

,

(

2

1

,

r

n

k

v

v

v

F

(

,...

1

,

0

,

1





n

;

r

m

k





,...,

2

,

1

) 

(see 

[

2

–

6

]), 

depending 

on 

the 

invariants 

)

,...,

,

(

2

1

r

v

v

v

of 

)

(

A

R



); 

here 

m 

denotes 

the 

degree 

of 

the 

minimal 

polynomial. 

2. Powers of matrices a

nd

n

k

F

,

functions 

We 

recall 

in 

this 

section 

some 

results 

on 

representation 

formulas 

for 

powers 

of 

matrices (see e.g. [2

–

6] and the references therein). For simplicity we refer to the case 

when the matrix is nonderogatory so that 

r

m



. 

Proposition 

2.1. 

Let 

be 

an 

)

2

(





r

r

r

complex 

matrix, 

and 

denote 

by 

r

u

u

u

,...,

,

2

1

the invariants of , and by 

















r

j

j

r

j

j

u

A

P

0

)

1

(

)

det(

)

(







. 

its characteristic polynomial (by convention 

1

0





u

); then for the powers of 

with