自动控制原理

总目录：

第一章自动控制的一般概念+第二章控制系统的数学模型学习笔记： https://blog.csdn.net/mahoon411/article/details/112555468 第三章线性系统的时域分析与校正学习笔记： https://blog.csdn.net/mahoon411/article/details/112757589 第四章根轨迹法学习笔记： https://blog.csdn.net/mahoon411/article/details/113093760 第五章线性系统的频域分析与校正学习笔记： 第六章线性离散系统的分析与校正学习笔记： 第七章非线性控制系统分析学习笔记： 第八章控制系统的状态空间分析与综合学习笔记：

本章节的第一、二、三小节主要讲了控制系统基本要求中的“快”，第四小节讲了“稳”，第五小节讲了“准”，前五小节总体讲了线性系统的时域分析。 第六小节讲了线性系统的时域校正。

时域法是最基本的分析方法,是学习复域法、频域法的基础。

时域法的特点：

对控制系统的基本要求：

线性系统时域动态性能指标： 系统的动态性能是以系统阶跃响应为基础来衡量的。因为，一般认为阶跃输入对于系统而言是比较严峻的工作状态，若系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其他形式的输入作用下，其动态性能也应是令人满意的。 上述五个动态性能指标中，最常用的是调节时间ts(反应过渡时间的长短，用来描述“快”)，超调量σ%(反应过渡过程的波动程度，反应系统跟踪信号的平稳性，描述“匀”),峰值时间tp。

一阶系统：闭环传递函数中分母中变量的最高阶数是一阶的系统。

一阶系统的动态性能指标只重点考虑调节时间ts，没有超调量σ%。

一阶系统的特征参数只有时间常数T。把一阶系统的传递函数化为尾1标准型，则分母中s的系数就是时间常数T。

即，一阶系统的动态性能指标中的调节时间ts，为ts=3T，其中，T为时间常数。

由图表可知，系统对某一信号的积分(微分)的响应，等于系统对某一信号的响应的积分(微分)。任意有限阶线性定常系统均符合此结论。因此，对于研究一个系统的动态性能指标来说，知道它的其中一个信号的响应(如阶跃响应)，其余信号的系统响应均可推出，不必另外求解。

需要注意的是，讨论一阶系统时，使用的尾1标准型，讨论二阶系统时，通常使用首1标准型。

二阶系统的特征参数有阻尼比和无阻尼自然频率。 若将二阶系统写为如下结构： 其中K就称为闭环增益。闭环增益仅仅影响系统输出的稳态值，不影响系统的动态性能。

二阶系统的特征方程：即二阶系统传递函数的分母，令其等于零。 特征方程的解即特征根，就是系统的极点。 系统阻尼比的取值范围不同，其特征根形式不同，系统响应特性也不同，据此将二阶系统进行分类：

计算过阻尼和临界阻尼系统的动态性能指标时，由于不存在超调，因此不需要计算超调量σ%，只需要计算调节时间ts。 系统结构图如下图所示，其中K=0.09。 求得传递函数如下所示： 此二阶系统的结构图可化为下图：

极点图如下图所示：

因此，过阻尼二阶系统从结构上看，相当于两个惯性环节(即一阶系统)的串联。

将极点图与化成两个惯性环节的系统结构图结合来看。离虚轴距离最远的极点，对应的惯性环节是1/(1.11s+1)，由一阶系统的动态性能指标可知，其调节时间ts为3.33秒。离虚轴距离最近的极点，对应的惯性环节是1/(10s+1)，其调节时间ts为30秒。

经过MATLAB绘图后可知，阶跃信号只经过后一个惯性环节所产生的响应与阶跃信号先经过前一个惯性环节再经过后一个惯性环节所产生的的响应相比，差别不大。并且当T1/T2，即λ2/λ1的值越大(也就是远离虚轴的那个极点离虚轴越远)，二阶系统的响应越接近于靠近虚轴的那个极点的惯性环节的响应。

从下图中也可看出，当T1/T2的值越大时，纵坐标ts/T1的值越接近于3，当T1/T2的值很大时，特征根λ2=-1/T2比λ1=-1/T1远离虚轴，λ2对应的模态e-t/T2很快衰减为零，系统调节时间主要由λ1=-1/T1对应的模态e-t/T1决定，ts/T1近似等于3，意味着ts=3T1。就是说，此时可将过阻尼二阶系统近似看作由λ1=-1/T1确定的一阶系统，估算其动态性能指标。

注：上面提到的距离虚轴最近的特征根λ1，或者极点λ1称为闭环主导极点，它对整个系统的调节时间的影响特别大。

直观理解：

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应： 欠阻尼二阶系统动态性能指标：

峰值时间tp： 记忆公式方法：π除以特征根(极点)的虚部(正值)。

超调量σ%： 记忆公式方法：π乘以特征根(极点)的实部除以虚部(正值)。 可以看出，超调量只和阻尼比有关，与无阻尼自然频率无关。 又已知，极角β由阻尼比唯一确定。因此，不同二阶系统的极点分布，只要分布在同一条射线上(即极角β相同)，那么它们的阻尼比一定相同，进而推知，它们的超调量一定相同。 阻尼比与超调量的图形如下图所示： 下图是三种β角与超调量的对应图，要记下这三种β角对应的阻尼比与超调量的对应关系： β=60°→ξ=cos(60°)=0.5→σ%=16.3%； β=45°→ξ=cos(45°)=0.707→σ%=4.33%； β=30°→ξ=cos(30°)=0.866→σ%=0.43%。

调节时间ts：先说明一下，如果依旧以系统响应曲线最后一次进入5%误差带的时间作为调节时间的话，那么此时，随着阻尼比的连续变化，系统的调节时间并非连续变化。 因此，为了有一个随着阻尼比连续变化而连续变化的调节时间，与此同时也是为了计算方便，通常按照阶跃响应的包络线进入5%误差带的时间来近似计算调节时间。 记忆公式方法：3.5除以特征根(极点)的实部的绝对值。

上述三个公式非常重要！！！ 搞控制会经常用到上述三个动态性能指标的公式。 做控制这一行，会经常用到上述三个公式。

“最佳阻尼比”ξ=0.707： 首先规定-ξωn=-1/T这个乘积为一个常数，设阻尼比ξ为变量，即在零极点分布图中，极点随着阻尼比ξ的变化，沿着一条平行于虚轴的线上下移动，但极点到虚轴的距离是固定不变的。

绘制出调节时间ts(真正意义上的调节时间)随阻尼比ξ变化的曲线如下图所示。 从图中可以看出ξ=0.707(β=45°)时，ts≈2T(T=1/ξωn)，实际调节时间最短，σ%=4.32%，超调量又不大，所以一般称ξ=0.707(cos(45°)=√2/2≈0.707)为“最佳阻尼比”。

理论上讲，0.707是最佳阻尼比。但实际上来说，根据需求不同，最佳阻尼比的值也会不同。例如对于民航客机的升高度来说，此时乘客需要的是舒适平稳的升高，即没有超调，因此，阻尼比越大越好，不必太在意调节时间。又例如对于战斗机来说，此时飞行员需要的是更加灵活机动的操作，即调节时间越短越好，因此，阻尼比的选择要使得调节时间最短，而不必太在意超调量。

接下来，描述一下二阶系统动态性能随极点位置分布的变化规律：

综上所述，二阶系统的极点放在45°线上，并且远离虚轴，这样是最有利的。因为当系统极点配置在45°线上时，阻尼比ξ=0.707，是最佳阻尼比，此时系统的实际调节时间最短，超调量也比较小(不超过5%)；并且极点沿45°线离虚轴越远，ωn越大(|λ|=ωn，即极点的模等于ωn)，因此ξ=0.707时对应的调节时间ts≈2T(T=1/ξωn)越来越短。

调整参数可以在一定程度上改善系统性能，但改善程度有限，此时可以通过调整系统结构来进一步改善系统性能。接下来总结一下改善二阶系统动态性能的措施。

采用测速反馈和比例加微分的控制方式，可以有效改善二阶系统动态性能。

原系统结构：

测速反馈——增加阻尼： 结构作用： 能够有效降低系统的超调量与调节时间。 改善机理： 当输出的超调量太大，意味着输出的波动太大，即输出变化的速度太大，此时把输出的速度负反馈回去，这样就增加了系统的阻尼，就能降低系统的超调量。 测速反馈系统结构： 如下图所示，相当于把原系统的输出C(s)求了一次导数(复域乘s相当于时域求导)，再乘上系数Kt，反馈回去。即反馈了系统输出的速度，因此称为测速反馈。

具体的比较见下表：

闭环零点会影响系统响应的各个模态的加权系数。

附加闭环零点会使系统的峰值时间提前，超调量增加。附加的闭环零点靠虚轴越近(Kt越大)，这种影响越强烈。

附加闭环极点的作用于附加闭环零点的作用相反。附加闭环极点会使系统的峰值时间滞后，超调量减少。附加的闭环极点离虚轴越近，影响越强烈。

同时附加闭环零点和极点时，距离虚轴近的零点或极点对系统影响较大。

稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。

稳定的定义：在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，如果扰动消除后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。

如下图中小球的三种情况所示，只有最左边的情况是稳定的。因为中间的小球在接收扰动后，虽然最终能够停止，但其停止的位置已经不是原来平衡的位置，因此在自动控制领域中不属于稳定状态。

根据稳定的定义，我们将脉冲响应作为系统的扰动信号。脉冲信号在t>0时为零，若系统脉冲响应最终收敛为零，即 则称系统是稳定的。

系统稳定的充要条件：系统的所有闭环极点均具有负的实部，或所有闭环极点均严格位于左半s平面。

注：一个系统是否稳定，只取决于系统的闭环极点，与系统的闭环零点无关。

虽然一阶二阶系统的特征根(闭环极点)能够求出来，然后用稳定的充要条件去判断系统是否稳定。但高阶系统的特征根未必能够求得，因此就需要一种稳定判据，使得不用求出系统的特征根，也能判断出系统是否稳定。

首先给出系统的特征方程(系统闭环传递函数的分母等于零)： 由特征方程，系统稳定的必要条件为： 使用此必要条件时需注意，有的特征方程会缺项，比如2s3+3s1+1=0，此时，看起来好像特征方程里s的系数都大于零，但实际上s2等于零，不满足必要条件，此系统一定不稳定

注：如果必要条件都没有满足的话，此系统一定不稳定。如果满足必要条件，只能说明此系统可能稳定，是否稳定还需进一步判断(使用劳斯判据)。

判断例题：

劳斯判据： 根据系统特征方程列劳斯表。劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定； 且第一列元素符号改变的次数等于特征方程中正实部根的个数。 上述例题中，劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。

劳斯判据特殊情况的处理：

系统开环稳定与系统闭环稳定之间没有直接关系。

劳斯稳定判据解决的是系统绝对稳定性的问题。在系统设计时，往往不仅需要知道系统是否绝对稳定，而且需要知道系统稳定的程度，即一个稳定的控制系统距临界稳定状态还有多大的裕度(或称稳定裕度)。 在时域分析中，稳定裕度常用实部最大的特征根和虚轴之间的距离来描述。

系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型、形式无关。

系统稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。

闭环系统的稳定性与其开环是否稳定没有直接关系。

按输入端定义的误差： 误差通常有两种含义:

静态误差(终值误差)：指时间趋于无穷大时误差的值。

动态误差： 指误差e(t)信号中的稳态分量es(t)。

当误差随时间趋于无穷大时，静态误差(终值误差)不能反映稳态误差随时间的变化规律，具有一定的局限性。

这个一般方法的实质是利用终值定理，既可以用于求输入作用下的稳态误差，也可以用于求干扰作用下的稳态误差，具体分为三步：

影响系统稳态误差的因素：

需要注意的是，之前研究系统动态性能时，限制输入信号必须是阶跃信号，但是研究系统稳态误差时，没有限制输入信号。

此方法主要是研究典型输入作用下引起的稳态误差与系统结构参数以及输入形式的关系。 此方法适用的条件为：

给出一个系统结构图：

如下是这个系统的开环传递函数，首先将其化为尾1标准型，然后将开环传递函数的分子与分母部分进行因式分解，将分子的开环增益K与分母的纯积分环节sv提出来，剩下的分式记为G0(s)。 其中：

计算上述系统的误差传递函数： 计算稳态误差： 可知，系统的稳态误差与输入r(t)的形式以及系统结构参数(K,v)有关。

将阶跃输入、斜坡输入、加速度输入信号分别代入上述稳态误差公式中，得到结果：

将上述结果整理为表格： 表格体现的规律是：

也可以得出：

利用上述表格求解稳态误差的步骤为：

由此可见，系统型别越高(纯积分环节越多)，其降低稳态误差的能力就越大，即跟踪输入信号的能力就越强。但是系统型别越高，想要使系统稳定就越难，因为纯积分环节越多，系统的特征方程中缺项的可能性就越大，一旦特征方程缺项，系统就不稳定，想要使系统不缺项，就需要对系统增加微分环节，但是由物理部件去实现微分环节是比较困难的。 因此，首先要保证系统稳定，在能够使系统稳定的前提下去增加系统型别。也因此，在实际控制系统中，0型系统与Ⅰ型系统都是比较常见的，但是Ⅱ型系统就比较少见了，Ⅱ型系统以上的系统，目前还没有。 综上所述，系统的稳态误差既与输入信号有关，又与系统的开环增益K及系统型别有关。一般来说，开环增益K以及系统型别越高，系统的稳态误差就越小，但这也意味着系统的稳定性越差。所以设计者的任务就是正确解决这相互制约的矛盾，选择合理的参数，以满足系统各方面的性能要求。

最后，也要注意的是：一个系统的稳态误差等于无穷大，并不意味此系统不稳定。

例题： 下图的系统中有前馈通道，因此不能使用静态误差系数法，只能使用计算误差的一般方法。 说明：按前馈补偿的复合控制方案可以有效提高系统的稳态精度。

例题： 说明：在主反馈口到干扰作用点之间的前向通道中提高增益、设置积分环节，可以同时减小或消除控制输入和干扰作用下产生的稳态误差。

用静态误差系数法只能求出误差的稳态值 。 而稳态误差随时间变化的规律无法获得。用动态误差系数法可以研究误差中的稳态分量es(t)随时间的变换规律。

稳态分量：即随时间不趋于零的分量。

利用动态误差系数法解决问题的思路为： 其中Ci称为动态误差系数。

动态误差系数的计算方法有：比较法和长除法。

例题：

研究动态误差的实际意义在于：实际工程中的系统，总是工作在一个有限的时间段内，只要保证系统在这个工作时间段内的误差不要超过一个给定的值即可。因此可通过研究系统的动态误差来判断系统是否符合工程要求。

校正：采用适当方式，在系统中加入一些结构和参数可调整的装置（校正装置），用以改善系统性能，使系统满足指标要求。

校正方式主要有：串联校正、反馈校正、前馈校正(复合校正)。

反馈校正一般是在主反馈环内，为改善系统的性能而加入反馈装置的校正方式。

反馈的作用：

比例负反馈可以减小被包围环节的时间常数，削弱被包围环节的惯性，提高其相应的快速性。 采用负反馈虽然减小了时间常数T，降低了调节时间，但是放大倍数也被降低了，还需要对增益进行补偿，即在反馈闭环的外部增加一个增益。

深度负反馈可以降低参数变化或系统中不希望有的特性(如某些非线性特性等)对系统的影响。 深度负反馈：反馈回路上的增益特别大。采用深度负反馈，原本的系统特性G(s)就约等于反馈回路上H(s)的倒数，这样就有效降低了原系统特性的影响。

合理利用正反馈可以提高放大倍数。 采用正反馈虽然提高了放大倍数，但时间常数T也被提高了，这就导致调节时间变长了。

在闭环系统内部采用串联校正或反馈校正，同时在闭环外部进行顺馈校正，采用这种组合校正的方式称为复合校正。顺馈校正分为按输入补偿和按干扰补偿两种形式，其主要作用在于提高系统的稳态精度。

用复合校正控制可以有效提高系统的稳态精度,在理想情况下相当于将系统的型别提高一级，达到部分补偿的目的，同时控制系统并不因引入前馈控制而影响其稳定性。因此复合控制系统能够较好地解决一般反馈控制系统在提高精度和确保系统稳定性之间的矛盾。然而当系统参数变化时,用这种方法一般达不到理想条件下的控制精度。另外可以看出，当输入具有前馈通道时，静态误差系数法不再适用。