函数运算

我们可以把函数相加、相减、相乘和相除！

结果是另一个函数。

我们可以来在函数 f(x) 和 g(x) 上做这些运算：

我们可以把两个函数相加：

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

注意：我们把 f+g 放在 ( ) 里来显示这两个函数都运用在 x 上。

(f+g)(x) = (2x+3) + (x2) = x2+2x+3

有时候我们需要合并同类项：

(v+w)(x) = (5x+1) + (3x-2) = 8x-1

另外还要考虑定义域（函数的输入值），我们在下面会解释.

我们也可以把两个函数相减：

(f−g)(x) = f(x) − g(x)

(f−g)(x) = (2x+3) − (x2)

也可以把函数相乘：

(f·g)(x) = f(x) · g(x)

(f·g)(x) = (2x+3)(x2) = 2x3 + 3x2

两个函数相除：

(f/g)(x) = f(x) / g(x)

(f/g)(x) = (2x+3)/x2

上面讲的都非常简单，但我们还需要考虑函数的定义域。

定义域是函数的所有输入值。

函数要可以运用在所有的输入上，所以你要自己决定用正确的定义域！

负数是没有平方根的（除非用虚数，但在这里我们不用），所以定义域不能包括负数：

√x 的定义域是所有非负实数

在实数直线上像这样：

用集合建构式符号表达就是：

{ x | x ≥ 0}

"所有为实数集成员的 x值，满足 x 大于或等于零这个性质的集"

用区间符号表达就是：

[0,+∞)

定义域一定要正确，不然结果就会有问题了！

那么，我们怎样可以得到函数运算后的新定义域呢？

函数运算的结果需要符合所有运算函数的定义域的限制。

就好像做菜请客：

所以菜不能有花生，并且不能有奶类食品。

f(x)=√x 的定义域是 0 及以上：

g(x)=√(3−x) 是小于或等于 3：

所以新定义域（运算后）是从 0 到 3：

任何其它值都不符合其中一个函数。

换句话说，需要的是两个函数的定义域在哪里相交。

注意：我们可以用集合建构式符号把这个概念写成一行：

Dom(f+g) = { x | xDom(f) 和 xDom(g) }

意思是："f 加 g 的定义域是所有在 f 的定义域并且也在 g 的定义域的实数"

不论运算是加、减、乘或除，都需要符合这个规则。除法还有另一个规则。

除法还有一个额外规则：

除了跟随以上的规则来限制定义域之外，除法：

(f/g)(x) = f(x) / g(x)

还需要 g(x) 不等于零（不能除以零）。

一个例子：

(f/g)(x) = √x / √(3−x)

一、f(x)=√x 的定义域是 0 及以上：

二、g(x)=√(3−x) 的定义域是小于或等于 3：

三、并且，√(3−x) 不能等于零，所以 x 不能使 3：

（注意在 3 的位置有个空心圆，意思是不包括 3）)

所有的规则一起就是这样：