前缀、中缀和后缀表达式的区别与转换

一、前缀表达式

前缀表达式又称波兰式，前缀表达式的运算符位于操作数之前。

1、求前缀表达式计算值的步骤：

（1）从右到左扫描表达式，遇到数字时直接入栈，遇到运算符时弹出栈顶两个数； （2）根据运算符对两个数进行相应计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将计算结果入栈； （3）重复上述过程直至表达式的最左端，剩余最后一个数在栈中弹出即为最终计算结果。

现以(3+4)×5-6 为例，其对应的前缀表达式就是 - × + 3 4 5 6。

(1) 从右至左扫描”- × + 3 4 5 6“，将数字6、5、4、3压入栈； (2) 遇到+运算符，弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4=7，将7入栈； (3) 遇到×运算符，弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈； (4) 最后遇到-运算符，计算出35-6=29，即为最终结果。

2、将中缀表达式转换为前缀表达式

(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2； (2) 从右至左扫描中缀表达式； (3) 遇到操作数时，将其压入S2； (4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级： (4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈； (4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1； (4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较； (5) 遇到括号时： (5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1； (5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃； (6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边； (7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2； (8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。

将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：

二、中缀表达式

中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，运算符处于操作数的中间，中缀表达式是人们常用的算术表示方法。

虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

(3+4)×5-6 即为一个中缀表达式。

三、后缀表达式

后缀表达式又称逆波兰表达式,与前缀表达式相似，但运算符位于操作数之后。

1、求后缀表达式计算值的步骤：

（1）从左到右扫描表达式，遇到数字时直接入栈，遇到运算符时弹出栈顶两个数； （2）根据运算符对两个数进行相应计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将计算结果入栈； （3）重复上述过程直至表达式的最右端，剩余最后一个数在栈中弹出即为最终计算结果。

现以(3+4)×5-6 为例，其对应的前缀表达式就是3 4 + 5 × 6 -。

(1) 从左至右扫描“3 4 + 5 × 6 -”，将3和4压入栈； (2) 遇到+运算符，弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4=7，将7入栈； (3) 将5入栈； (4) 遇到×运算符，弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈； (5) 将6入栈； (6) 最后遇到-运算符，计算出35-6=29，即为最终结果。

2、将中缀表达式转换为后缀表达式

(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2； (2) 从左至右扫描中缀表达式； (3) 遇到操作数时，将其压入S2； (4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级： (4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈； (4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）； (4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较； (5) 遇到括号时： (5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1； (5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃； (6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边； (7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2； (8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。

将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：