利用导数求函数的极值、最值

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利用导数求函数的极值、最值常见考点考点一 极值与极值点典例1．设，曲线在点（1，f（1））处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f（x）的单调区间和极值．【答案】(1)(2)在区间（0，）和（1，＋∞）单调递减，在区间（，1）单调递增；极大值为，极小值为【解析】【分析】（1）求出函数得导函数，根据曲线在点（1，f（1））处取得极值可得，从而可求出a的值；（2）根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义求出极值即可.(1)∵，则，又∵，故可得，解得，经检验符合题意，所以；(2)由（1）可知，，则，当或时，，当时，，故可得f（x）在区间（0，）和（1，＋∞）单调递减，在区间（，1）单调递增，故f（x）的极大值为，f（x）的极小值为．变式1-1．已知函数，在处有极值.(1)求、的值；(2)若，有个不同实根，求的范围.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）根据题设条件可得，由此可解得与的值（2）依题意可知直线与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围介于极小值与极大值之间.(1)因为函数，在处有极值，所以，即，解得，.(2)由（1）知，，所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以，，若有3个不同实根，则，所以的取值范围为.变式1-2．已知函数，为的导函数，证明：(1)在区间存在唯一极大值点；(2)在区间存在唯一极小值点；(3)有且只有一个零点.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)首先求函数的导数，利用函数的导数，判断函数的单调性，以及结合零点存在性定理，即可说明函数在区间存在唯一极大值点；（2）由的单调性，结合零点存在性定理，说明存在唯一极小值点；（3）分和两个区间，结合函数的单调性，以及零点存在性定理，说明函数有且只有一个零点.(1)的定义域为，设，则，当时，，所以单调递减；且，，由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使又当时，；当时，；所以为区间上唯一的极大值，即是区间上唯一的极大值点.(2)当时，单调递增，且，，，所以在区间有唯一零点，设为，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；所以是在上唯一的极小值点.(3)①当时，由（1）可知在上单调递增，且，所以在上有唯一零点；当时，单调递减，且，所以在上没有零点.②当时，由（2）可知在区间上，此时单调递减，且，故有，此时单调递减，且，由，得，所以.当时，由（2）知，所以单调递增，又，故，，，所以存在，使，即，故为的极小值点.此时.所以在上没有零点.③当时，，所以，所以在区间上没有零点.综上在区间上有且仅有一个零点.【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.变式1-3．已知函数，其中为自然对数的底数，为常数．(1)若，求函数的极值点；(2)若函数在区间上有两个极值点，求实数的取值范围．【答案】(1)极小值点为，极大值点为(2)【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再利用导数与函数极值点的关系，即可求解；（2）根据，得，换元后转化为与，且有两个交点，利用数形结合，即可求得实数的取值范围.(1)由题可知，令，得(1)当时，上式为：，解得：，当，解得：或，当，解得：的单调递增区间为；单调递减区间为极小值点为，极大值点为.(2)∵函数在上存在两极值点在有两不等实解，即由分离参数可得：令，则设，且易知在上单调递减，在上单调递增，，，结合图象可知，与在有两交点，则，故实数的取值范围为考点二 最值典例2．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)，【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，（2）对函数二次求导后可得在区间上递增，再由可分析得在上单减，在上单增，从而可求出函数的最值(1)由，得，，，函数曲线在点处的切线方程为.(2)当，，在区间上递增，又，所以，当，，所以在上单减，当，，所以在上单增.所以，因为， ，所以，令，则，，所以在上递增，因为，所以在上递增，所以，所以所以.变式2-1．已知函数在处取得极值．(1)求的单调区间；(2)求在上的最值．【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；(2)，.【解析】【分析】（1）根据可构造方程组求得，进而得到，根据的正负可得单调区间；（2）根据单调性可确定，，由此可求得最值.(1)，在处取得极值，，，解得：，，，当时，；当时，，的单调递增区间为和，单调递减区间为；(2)由（1）知：，，又，，.变式2-2．已知函数，(1)若，求的极值；(2)当时，在上的最大值为，求在该区间上的最小值．【答案】(1)极大值为，极小值为(2)【解析】【分析】（1）利用导数可求得单调性，由此得到极值点，代入可得极值；（2）利用导数可求得单调性，结合，可知，利用可构造方程求得，从而得到.(1)当时，，，令，解得：，，则变化情况如下表：极大值 极小值的极大值为；极小值为(2)，，又，；令，解得：，；则变化情况如下表：极大值 极小值在，上单调递增，在上单调递减，，，，又，，在上的最大值为，解得：；.变式2-3．已知函数．(1)若，求的图象在处的切线方程；(2)若，在上存在最小值，且最小值不大于，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，（2）对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，由在上存在最小值，且最小值不大于，得从而可求出的取值范围(1)因为，所以，，则．因为，所以的图象在处的切线方程为．(2)因为，，所以当时，；当时，．故的单调递增区间为和，单调递减区间为．因为在上存在最小值，且最小值不大于，所以解得，即的取值范围为．巩固练习练习一 极值与极值点1．已知函数，其中．(1)当，求的极值；(2)若曲线与直线在上有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】(1)的极小值为，无极大值(2)【解析】【分析】（1）对函数求导，利用导函数即可求出原函数的极值.（2）设，对进行求导，由只有一个零点，对进行讨论，即可得到答案.(1)由题意，，则，故在单调递减，在单调递增.有极小值，无极大值.(2)设，则，①当时，，在上无零点，不合题意；②当，则单调递增，时，由零点存在性定理得在中只有一个零点，即曲线与直线在上有且只有一个交点.②时，在单调递减，单调递增若，则只能若，则在单调递减，时，则要，则故综上：.2．已知函数在时有极值0．(1)求函数的解析式；(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，根据题意可得，从而可得出答案；（2）求导，根据导数的符号求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，再根据函数有三个零点，列出不等式，解之即可得出答案.(1)解：，因为函数在时有极值0，所以，即，解得，经检验符合题意，所以；(2)解：由（1）得，则，当或时，，当时，，所以函数在和上递增，在上递减，所以函数的极大值为，极小值为，因为函数有三个零点，所以，解得，即实数的取值范围为.3．已知函数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)答案见解析；(2)存在，0＜a＜2﹒【解析】【分析】(1)由，可求得，然后分与讨论导数的正负即可得f(x)的单调区间；(2)由(1)可知，当，函数有极大值，结合化简极大值，令＞0，解出a的范围即可．(1)，，，当时，由于，故，于是，，故在上单调递增；当时，令，即，解得，，，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上，时，f(x)的单调增区间是，无单调减区间；时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是.(2)由(1)可知，当时，在上单调递增，为极大值；当时，f(x)在处取到极大值.由(1)可知，，即，极大值，令，∵在单调递增，且，时，，即时，，∴，当时，，不等式显然成立；当，即时，，∴，综上，0＜a＜2.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用.第二问的关键是看出极大值在定义域内单调递增，且g(1)＝0，利用单调性将函数值大于0转化为自变量大于1，从而简化计算．4．已知函数.(1)讨论的极值点的个数；(2)若函数有两个极值点，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）的极值点的个数等价于的解的个数，分离参数得，构造函数，求导分析，作出其图象，数形结合可得的极值点的个数；（2）由（1）可知，设，则，由得，取对数得，同理，进一步分析可得.最后利用分析法与换元法，将问题转化证明，即可.(1)解：由题意得，，即，故令，所以函数的极值点的个数的等价于与的交点个数.，得；得；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，所以的大致图象如图：由图可得，当时，恒成立，函数单调递增，极值点的个数为0；当时，与的交点个数有两个，分别设为且，当时，，时，，故函数有两个极值点；当时，与的交点个数有两个，不妨设为 ，则当，，当时，，故函数有1个极值点.(2)证明：因为函数f（x）有两个极值点，由（1）可知设，则，显然，所以，由极值点的概念知， ，故，所以，同理，两式相减得，即.另一方面，要证，只需证，即因为，所以，故上式可化为，即令，则，上式即为，.令，则，故为减函数，所以，即，原命题得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，利用导数证明不等式；考查分类讨论思想，运算求解能力，是难题.本题第二问解题的关键在于借助第一问的结论得，进而根据极值点的导数值为0等价转换得，进而将问题转化为，再结合换元法证明，即可.练习二 最值5．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1)单调增区间，单调减区间(2)最大值，最小值【解析】【分析】根据导函数分析函数单调性，在闭区间内的最值(1)时，；时，单调增区间,单调减区间(2)由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，所以最大值为又；故最小值为06．已知函数．(1)求函数在的单调区间；(2)求函数在区间上的最大值（其中为正实数）．【答案】(1)的单调递增区间为、，单调递减区间为(2)答案见解析【解析】【分析】（1）化简函数在上的解析式，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间；（2）解方程，可得或，然后分、、、四种情况讨论，结合（1）中的结论分析函数在区间上的单调性，由此可得出函数在上的最大值.(1)解：，①当时，，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减；②当时，恒成立，所以在上单调递增.综上，的单调递增区间为、，单调递减区间为.(2)解：令，即，解得或.①当时，在上单调递增，，②当时，在上单调递增，在上单调递减，此时；③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则；④当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则.综上，当时，.【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.7．已知函数，且．(1)求的值；(2)求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值是，最小值是．【解析】【分析】（1）列出关于的方程即可求得的值；（2）依据导函数判定函数的单调性，求出函数在区间上的极值和区间端点处的函数值，即可求得函数在区间上的最大值和最小值．(1)，所以，解得．(2)由，得，令，得或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．又，，，，所以在区间的最大值是，最小值是．8．已知函数.(1)若，，求函数的单调区间；(2)若直线是曲线的切线，求的最大值；【答案】(1)答案见解析；(2)0【解析】【分析】（1）根据题意，，，进而求导，分和两种情况讨论求解即可；（2）设曲线的切点为，进而结合导数的意义得，，故，再求函数的最大值即可.(1)解：由题知，函数，定义域为，则，当时，即时，，在上单调递增，当时，即时，令，解得，令，解得，所以在递增，在递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在递增，在递减.(2)解：设曲线的切点为，因为， 是曲线的切线，所以，故，因为，即，故，所以，所以，所以单调递减，故，综上，的最大值是.利用导数求函数的极值、最值常见考点考点一 极值与极值点典例1．设，曲线在点（1，f（1））处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f（x）的单调区间和极值．变式1-1．已知函数，在处有极值.(1)求、的值；(2)若，有个不同实根，求的范围.变式1-2．已知函数，为的导函数，证明：(1)在区间存在唯一极大值点；(2)在区间存在唯一极小值点；(3)有且只有一个零点.变式1-3．已知函数，其中为自然对数的底数，为常数．(1)若，求函数的极值点；(2)若函数在区间上有两个极值点，求实数的取值范围．考点二 最值典例2．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.变式2-1．已知函数在处取得极值．(1)求的单调区间；(2)求在上的最值．变式2-2．已知函数，(1)若，求的极值；(2)当时，在上的最大值为，求在该区间上的最小值．变式2-3．已知函数．(1)若，求的图象在处的切线方程；(2)若，在上存在最小值，且最小值不大于，求的取值范围．巩固练习练习一 极值与极值点1．已知函数，其中．(1)当，求的极值；(2)若曲线与直线在上有且只有一个交点，求的取值范围．2．已知函数在时有极值0．(1)求函数的解析式；(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围．3．已知函数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．4．已知函数.(1)讨论的极值点的个数；(2)若函数有两个极值点，证明：.练习二 最值5．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的最大值和最小值.6．已知函数．(1)求函数在的单调区间；(2)求函数在区间上的最大值（其中为正实数）．7．已知函数，且．(1)求的值；(2)求函数在区间上的最大值和最小值．8．已知函数.(1)若，，求函数的单调区间；(2)若直线是曲线的切线，求的最大值；

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