根据上面的公式有:
F
X
∣
Y
(
x
∣
y
)
=
P
{
X
≤
x
∣
Y
=
y
}
=
P
{
X
≤
x
,
Y
=
y
}
P
{
Y
=
y
}
=
lim
Δ
y
→
0
+
P
{
X
≤
x
,
y
;
Y
≤
y
+
Δ
y
}
P
{
y
;
Y
≤
y
+
Δ
y
}
=
lim
Δ
y
→
0
+
F
(
x
,
y
+
Δ
y
)
−
F
(
x
,
y
)
F
(
+
∞
,
y
+
Δ
y
)
−
F
(
+
∞
,
y
)
=
lim
Δ
y
→
0
+
∫
−
∞
x
∫
y
y
+
Δ
y
f
(
u
,
v
)
d
u
d
v
∫
−
∞
+
∞
∫
y
y
+
Δ
y
f
(
u
,
v
)
d
u
d
v
=
lim
Δ
y
→
0
+
∫
−
∞
x
∫
y
y
+
Δ
y
f
(
u
,
v
)
d
u
d
v
/
Δ
y
∫
−
∞
+
∞
∫
y
y
+
Δ
y
f
(
u
,
v
)
d
u
d
v
/
Δ
y
=
∫
−
∞
x
f
(
u
,
y
)
d
x
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
,
y
)
d
x
=
∫
−
∞
x
f
(
u
,
y
)
f
Y
(
y
)
d
u
\begin{aligned}F_{_{X|Y}}(x|y) ;= P\begin{Bmatrix} X \le x | Y = y \end{Bmatrix} \\ ;= \frac{P\begin{Bmatrix} X \le x , Y = y \end{Bmatrix}}{P\begin{Bmatrix} Y = y \end{Bmatrix}} \\ ;= \lim_{\Delta y \rightarrow 0^+}\frac{P\begin{Bmatrix} X \le x, y;Y\le y + \Delta y \end{Bmatrix}}{P \begin{Bmatrix} y;Y\le y + \Delta y\end{Bmatrix}} \\;=\lim_{\Delta y \rightarrow 0^+} \frac{F(x, y+\Delta y) - F(x, y)}{F(+\infty, y + \Delta y) - F(+\infty, y)} \\ ;=\lim_{\Delta y \rightarrow 0^+}\frac{\int_{-\infty}^x\int_{y}^{y + \Delta y}f(u, v)dudv}{\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{y}^{y+\Delta y}f(u, v)dudv} \\;= \lim_{\Delta y \rightarrow 0^+}\frac{\int_{-\infty}^x\int_{y}^{y + \Delta y}f(u, v)dudv/\Delta y}{\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{y}^{y+\Delta y}f(u, v)dudv/\Delta y} \\ ;= \frac{\int_{-\infty}^{x}f(u,y)dx}{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dx} = \int_{-\infty}^{x}\frac{f(u, y)}{f_{_Y}{(y)}}du\end{aligned}
FX∣Y(x∣y)=P{X≤x∣Y=y}=P{Y=y}P{X≤x,Y=y}=Δy→0+limP{y |