初中数学八上(09)一次函数旋转 知识点

在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转。这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，如果一个图形上的点A经过旋转变为点A'，那么这两个点叫做旋转的对应点。

旋转的性质：旋转后得到的图形与原图形之间：对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。

关于一次函数(直线)的旋转，我们主要研究一些考试常考的特殊角：

旋转180度(两种情况)

①一条直线绕直线上一点旋转180度，得到的新直线与原来重合。

非常容易理解，不做过多说明

②一条直线绕直线外一点旋转180度，得到的新直线与原来平行。

根据两条直线平行则斜率相等，只需要再找一点即可求出旋转后直线解析式。

例题：求直线y=x+1绕点(1，1)顺时针旋转180度后得到的新直线的解析式。

如图，由于旋转180度后的直线与原直线斜率相同，所以设新直线为y=x+b。只需再找一点即可，通常可以找旋转点正上(下)方或左(右)的点比较方便，例如找点B(0，1)，易知点B绕点A顺时针旋转180度得到的点C坐标是(2，1)，把点C(2，1)代入y=x+b，解得b=-1。所以旋转后的直线是y=x-1。

旋转90度(互相垂直的直线，斜率乘积是-1)

旋转90度后与原直线垂直，有一个非常重要的结论：“互相垂直的直线，斜率乘积是-1"。不考虑与坐标轴平行的情况(与x轴平行则斜率是0)

下面用几何方法来理解一下这个结论

如图已知直线y=k1x与y=k2x互相垂直。因为任何直线都可以平行移动到这两条直线上,而且关系不会变，所以用这两条过原点的直线来说明。

在两条直线上分别取点A与点B，使OA=OB。如图作AC，BD垂直于x轴，则出现了我们熟悉的(三垂直全等模型)。

△ACO≌ODB，所以AC=OD，OC=BD。根据斜率定义，k1=BD/OD，k2=-AC/OC。则k1·k2=-(BD·AC)/(OD·OC)=-1。

例题：直线y=2x+2顺时针绕点A(1，0)旋转90度，求旋转后得到的新直线解析式。

利用上面两直线垂直的结论，可以直接设旋转后的直线是y=-0.5x+b，然后只需找一个点即可，例如点B(-1，0)绕点A顺时针旋转90度得到点B'(1，2)，代入解得b=2.5。

如果不利用上面的结论，可以根据两点确定一条直线，所以可以找两个点，然后根据这两个点的坐标确定一次函数解析式。

如上图可以在直线上找点A左面的点B(-1，0)与正上方的点C(1，4)，它们绕点A顺时针旋转90度得到点B'(1，2)与点C'(5，0)，之后可以求出新直线的解析式。

其它特殊角(30,45,60等)

如果是其它的一些特殊角，例如30,45,60等，也都可以计算出旋转后的坐标。学了三角函数会更方便，暂时我们可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决。

例题：直线y=2x+2顺时针绕点A(1，0)旋转60度，求旋转后得到的新直线解析式。

如图设点C绕点A顺时针旋转60度后是点C'，则AC'=4，∠EAC'=60°，∠EC'A=30°。根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半(初二下的知识，先了解一下)，可得AE=AC'/2=2，根据勾股定理可知EC'=2√3。所以点C'的坐标是(2√3+1，2)。同理可以求出点B'的坐标，之后可以得到直线B'C'的解析式。

由于45度角可以构造出等腰直角三角形，所以经常结合三垂直全等模型。